TEMPS CALCULÉS
Temps
Montée.
Descente
Somme.
observés.
DitTér'*.
Hauteur.
5 ,ii
it .90
+ Ti
io
§ 61. Je regarde ces différences de temps comme milles. Car les degrés d’élasticité de l’air comprimé dans la boîte différaient trop peu entre eux pour qu’ils eussent dû produire une différence d’une ~ seconde dans le temps. Nous voyons que la seconde, la troisième et la quatrième observation diffèrent chacune de la suivante d’une seconde entière, et que pour produire cette différence, celle de l’élasticité a dû être de près de deux pieds (0 ,n ,628) de mercure (§ 50). Mais la première et la seconde expérience ne différaient que d’un tiers de pied (O™, 104), ce qui ne pourra produire qu’une jj partie de seconde de différence daus le temps ; quantité trop minime pour
30 HÉHoim:
avoir pu être observée, quoiqu’elle ail pu porter l’observateur à compter pour la première observation une demi-seconde de plus. On peut juger de la même manière des ’ de seconde , dont la dernière expérience diffère du calcul. De la sorte, ces expériences sont telles, qu’au lieu de changer la moindre chose nu principe de la résistance proportionnelle au carré des vitesses, elles le confirment autant qu’on peut le souhaiter. Les vitesses, dans les deux premières expériences surtout , étaient telles que si la balle avait été tirée horizontalement avec une vitesse infinie, elle aurait été réduite à cette vitesse après la deuxième seconde de temps (§ 12, 9). M. Sut zer, d’après les raisons assez plausibles que donne il/. Euler, a joint au carré des vitesses une petite fonction de leur carré. On peut voir dans son Mémoire, que les deux dernières expériences se trouvant assez conformes aux résultats de son calcul, les deux premières, dans lesquelles ce bicarré se trouve considérablement plus grand, diffèrent au delà d’une seconde, et par conséquent de la dixième partie du temps entier.
§ 62. Déterminons encore pour la première de ces expériences le temps que la balle aurait employé à monter et à descendre dans le vide , et dans un air dont la résistance aurait été double de ce qu’elle a été en effet. Le temps pour le vide se trouve aisément; car il est
égal à 2 c' : g, et par conséquent = — 19,7 se-
condes.
Au contraire dans un air, dont la résistance serait double, la valeur de la lettre a se réduit à la moitié de ce que nous avons trouvé , ou à 317, là pieds (99 ra ,Gl7).
S lit! LA RÉSISTANCE DES FLUIDES.
On aura donc
loga = 2,5016593, logÿ == i, 49485 oo, log ag — 3,9965093 — logCC, logC = 1, 9982546; donc C= 99, 60 pieds ( 3 i“, 260}, loga — 1 0068093,
donc
De là nous. aurons
logC = 1,9982562, loge' = 2,4882896,
loge' : C = 0,4900334 = log cot 3*,
log cot* = O ,8019258.
Ce logarithme, étant changé en logarithme hyperbolique, devient
et l’arc (i *• — 2 *) étant converti en parties décimales du rayon, donne
Or, l’un et l’autre de ces nombres doivent encore être
multipliés par e' : C = 3,187, pour avoir
le temps de la montée = 4 ",o«> de la descente = 5 , 8 g.
Temps T... . =9 , 90 .
Nous voyons de là que le temps décroît de manière que la densité de l’air étant représentée par les abscisses, et le temps T par les ordonnées d’une courbe , cette courbe devient asymptotique , et que les temps décroissent plus lentement que ne croissent les densités, etc.; caron a pour la
densité T = 19 . y,
■ — 1 • • • « « • = I2)Oj
La hauteur x diffère également. Elle est :
x = a log coscc a» (§ 25).
Or, le logarithme tabulaire de coséc 2 « est=0,51 19665, et en le multipliant par
il donne
2,3o358 a — ?3i , x — 384,3 ; de sorte qu’on a pour la
densité = 0 x = i5iG,
= 384, etc. ;
Sun LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. Si)
d’où ii résulte que les hauteurs décroissent plus vite que les temps.
§ 63. Jusqu’ici nous avons considéré le cas où le milieu résistant est en repos. Il ne sera pas inutile de donner aussi quelque attention à ceux où il est en mouvement.
Nous supposerons ce mouvement rectiligne et uniforme, et ,,pour commencer par le cas le plus simple, nous le regarderons comme étant directement opposé à celui du corps qui se meut.
Soit donc AB (fig. 1) la droite suivant laquelle un corps sphérique se meuve de A vers B , de sorte qu’après un temps = t, il ait parcouru l’espace AP = x.
Soit C sa vitesse en P.
Avec cette vitesse, le corps pourrait parcourir, dans le temps d r l’espace P q , s’il n’était retardé par la résistance et l’action du fluide. Le fluide se mouvant de B vers A, avec une vitesse que nous nommons y, la vitesse relative du corps sera = y + c; et c’est du carré de cette vitesse que dépend l’effet de la résistance, ou le retardement pq = — ddx ; nous aurons donc
-- ddx — (c - f- y) i dr' ; a;
mais on a
dx = c.dr, ddx = de. dr.
Donc, en substituant cette valeur , nous aurons
— de — (c -f y)\fr : a, de dr
60 MÉM01RK
et l’intégrale, en faisant la vitesse initiale
de sorte que le temps est en raison réciproque de la vitesse relative
§ 64. L’équation
se change en
de dr
ede edr dv
ce qui donne l’intégrale
= lm; G 4* y v > y
et en exprimant la vitesse c par sa valeur en temps, l’on aura
ï*(i£±jI + 1 )e.
Dans ces formules yr est l’espace que le milieu parcourt dans le temps r, et, au contraire,
est l’espace que le corps aurait parcouru, si, en supposant le fluide en repos, le corps avait eu la vitesse initiale G 4" y (§ 11). Ainsi l’espace est la différence de ces deux
SUR LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. Cl
espaces, ou bien, en transposant les termes de cette équation , nous aurons la suivante :
dont l’un et l’autre membre dénotent l’espace relatif ou la distance du globe à une particule du fluide emportée par le fluide.
§ 65. L’équation que nous venons de trouver, pour l’espace parcouru , nous présente un maximum , ce qui fait voir qu’un globe poussé contre le torrent du fluide avec une vitesse quelconque est ralenti , en sorte qu’après avoir parcouru un certain espace , sa vitesse devient = 0, et qu’il commence à être entraîné par le fluide. Pour en trouver le temps , nous n’aurons qu’à faire c = 0 dans l’équation
a c-j-y G-f-i’ et elle se change en
Par exemple, dans la première expérience de M. Sulzer, nous avions la vitesse initiale de la balle= 307,8 (96 m ,60), et la valeur de la lettre a = 634,9. On aura donc
y 3oj,8 -f- y
Supposons la vitesse du vent égale 60 pieds par seconde (18 m ,83),etii se trouvera que le temps r n’est que de 8,85
Ctî MÉMOIRE
secondes, de sorte que celte balle étant tirée horizontalement avec une vitesse de 307,8 pieds (9G m ,G) , et contre un vent dont la vitesse est de 60 pieds (18'",8) , rebroussera chemin en moins de 9 secoudcs , et ne fera seulement que 618 pieds (194 mètres) de chemin.
§ 66. Pour accommoder les formules que nous venons de trouver, au cas où le mouvement du fluide suit la même direction que le corps qui s’y meut, nous n’aurons qu’à prendre la lettre y négativement , ce qui donne
Ces formules auront lieu , lorsque la vitesse initiale du corps sera plus grande que celle du fluide dans lequel il se meut; si, au contraire, le fluide sc meut plus vite, on aura les formules suivantes :
§ 67. Ce qui donne pour le cas où le mouvement du
corps commence par le repos
§ 68. Cette dernière formule se construit de la manière suivante.
tr Ayant tiré à angle droit les lignes AB , RT (fîg. 6) , on fait
AB = AT = a.
Et l’on fait passer par le point B une logarithmique EBM, dont la sous-tangente AT soit égale à a, et qui ait RT pour axe. Après avoir ensuite tiré BT prolongée vers Q , et BP parallèle à RT, on prend PM — T y , et l’on aura MQ = x. En effet , on a
AR = BP = PQ = olog^,
RM = a -j- ry,
RP = PQ — alog— l l,. Ty
PM = ty;
donc
Si donc les temps croissent comme PM , les espaces 1 missent comme MQ.
g 09. L’équation
étant résolue en une suite, nous donne
acc , aac’ .
2 yy ' 5y‘ ‘
3 ac'
-f* etc. (1).
Si donc la vitesse du fluide est incomparablement plus grande que celle du corps et que le fluide soit fort rare, il suffira de garder le premier lerme de cette suite, puisque les suivants s’évanouissent. On aura donc
x — ■ — . cc.
2yy
La lettre a dépend de la densité du fluide. Ainsi , dans l'hypothèse qui fait dépendre la pesanteur des corps du mouvement d’un semblable fluide, le rapport
a : 2 yy
(1) En général onalogy = y — 1 — ^ j -f
(X=±)‘ (JL=±y + etc.; d’où log
x~. r-, -f ïï si — 71 Tï + etc. üonc - — 4-
2 (y— c) 3(y — cy U{y — c)* a '
— etc. Or
2 (y- c) 1 * * 3 (y— c)* r ft(y-c)* ** v * V* (y - c)*
+ + eiC '{y - cÿ = y r + !?+**'’
(y —cy
, 2 ac J . Sac 4 .
= 7 + etc. Donc x = — + ypr+ + etc.
SCR LA RÉSISTANCE DES FLUIDES. G,“l
se définit par la loi de la chute des corps , car on a
d’où l’on tire
ry»
ry ; « = 3 1 £ pieds.
§ 70. Mais, sans nous arrêter à ces recherches, passons à considérer le mouvement d’un corps sphérique dans un milieu qui se meut dans une direction oblique, et qui, par conséquent , non-seulement altère la vitesse du corps, mais en change en même temps la direction.
§ 71. Soit donc AB ( flg . 7) la direction du mouvement du fluide que nous supposons avoir lieu de À vers B avec une vitesse AF. Soit AEM la courbe que le corps parcourt, de sorte qu’en A, sa direction soit perpendiculaire à celle du fluide. Supposons la vitesse en A=AG, et, achevant le rectangle AFHG, tirons la diagonale Ail et faisons
AF = y,
