IL

Soit

xine équation du degré n, dans laquelle le coefficient de x" se réduit a l’unité, en sorte qu’on ait identiquement

(2) f(x) = x" -P -f -f ... -f. a„,x -f- ûf,,

a,, a,, ^n i, «n étant des coefficients réels ou imaginaires. Soit d’ail-

leurs k une constante réelle ou imaginaire dont le module surpasse le plus grand des modules principaux de f(x). D’après ce qui a été démontré dans le paragraphe précédent, on pourra développer, suivant les puissances descendantes et fractionnaires de k, les racines de l’équation

Pour y pai venir, il suffira d’employer les formules tirées du calcul des résidus , ou bien encore la formule de Lagrange, en opérant comme il su it. L’équation (3) étant écrite ainsi ,

(4) -h 4. + ... + a„tX a„ = i,

si l’on fait, pour plus de commodité,

I O, Z -f- ûaS* -f”

en choisissant <t!r(z) de manière que l’on ait

(6) w (o) = 1 , celte équation deviendra

et on la vérifiera en posant

pourvu que Ton désigne par A une des racines de l’équation binôme

Or, les valeurs de z et de F (z) tirées de l’équation (8) , en vertu de la formule de Lagrange, pour un module de A suffisamment petit, ou, ce qui revient au même, pour un module de k suffisamment grand, seront

(lO)

Z == Aar(o) + — ■ f ■L q 5 — W-' + etc. .