lÉ 1 .2.3 de

et

(il) F(z) =F(o) -f- AF»zrro) -f- — (0 [^(0]' ^tl^F(e)[^(t)]

+ etc...

6 devant être réduit à zéro après les différentiations, et <zër(o) ne différant pas de l’unité. On obtiendra donc sans peine les valeurs de z et de F(z), par conséquent celles de et de

développées en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de A, ou de.scendantes et fractionnaires de k, lorsque le module de k surpassera tous les modules principaux de ((x), c’est-à-dire, ceux qui correspondent aux racines de l’équation

Pour remplir cette condition , il suffirait de supposer k équivalent à a/’".

r étant la valeur de x qui, dans l’équation (i), rendrait le premier terme égal à la somme de tous les autres. En effet, soient

Ai, Aa, Ai,, , A,,,

les modules des coefBcients

la valeur de r dont il s’agit sera donnée par la formule

et surpassera celle que fournirait l’équation

(15) — (n — OA,/'"'’ — (n — 2) A,r""3 — ... — A„, = o, de laquelle on tirerait

r" A,/’""' Aa/’" “ — ... AB,f’ = o,

et par suite

— A,/"-' — Aar""“ — ... — - A„,r — A„ < o.

Donc la valeur de r donnée par la formule (i4) surpassera les modules de toutes les racines de l’équation

-j- (n — i) + C'» — 2) a„, = 0, ou f'(x) = o -,

comme on le démontrera facilement à l’aide des raisonnements dont nous avons fait usage dans V Analyse algébrique (p. 480). D’ailleurs, il résulte évidemment de l’équation (i4) que, pour un module de x égal ou inférieur à cette valeur de /•, le module de f(a:) ne surpassera pas ar", ou le double de r*.

Après avoir ramené par le calcul des résidus, ou par le théorème de Lagrange, la résolution de l’équation (3) à la résolution d’une équation binôme, savoir, de l’écjuation (9), du moins pour une valeur du paramètre k suffisamment grande, il reste à montrer comment on peut revenir de l’équation (3) à l’équation (i). Or, pour y réussir, il suffira de faire varier un nouveau paramètre i entre les limites £ = o, i = k, dans, une nouvelle équation de la forme

et l’on pourra même supposer que clans ce trajet, le rapport preste toujours réel et positif. Chacune des constantes i pouvant d’ailleurs être imaginaire, nous écrirons dans les équations (3), (9) et (i6),

au lieu de

k et i ;

et par suite ces équations deviendront

les valeurs de A:, t pouvant être supposées ici réelles et positives, et<sr désignant un arc réel, que nous resterons libres de choisir arbitrairement.

Remarquons à présent que toutes les racines de l’équation (ig) seront développables par le calcul des résidus ou par la formule de Lagrange, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières du paramètre i, si la valeur réelle et positive attribuée à ce paramètre dans l’équation (19), est inférieure aux modules de toutes les valeurs principales de/. Or, ces valeurs principales, qui pourront être imaginaires, se confondront avec les valeurs de la fonction

(20) k — e'°'^ f (x) , correspondantes aux racines de l’équation dérivée

Si la fonction f(a:) étant de forme réelle, l’équation (i) a toutes ses racines réelles et inégales, on pourra en dire autant de l’équation dérivée (i3), et par suite les valeurs principales de la fonction f(x) seront toutes réelles, mais différentes de zéro. Alors, si l’on pose

l’expression (20) , réduite à

(22) ^ rf:f(x)V/— I,

offrira, pour chaque valeur principale de .r, un module

supérieur à et par suite toutes les racines de l’équation (19) seront développables, même pour iz=k, en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de i , ces séries ayant pour premiers termes les racines déjà calculées de l’équation (17). Mais, quand on poseï=A', l’équation (19) se réduit à l’équation (1). Donc, si l’équation (i) a toutes ses racines réelles et inégales, la résolution de cette équation pourra être réduite à celle de l’équation (17), par conséquent à celle de l’équation binôme (18). Observons d’ailleurs qu’en supposant

on réduira les équations (17) , (18), (19) à

(2$) /f = f (ar) v/ — I, (26)

(27) k =z i f{x) — I , ou

tandis qu’en supposant

on réduira les équations (17), (18), (19), à

(3i) k= t — f (x) y/ — I , ou ï = Â- -J- f(Æ') — I .

On peut donc énoncer la proposition suivante.

i*' Théorème. Lorsque l’équation (i) a toutes ses racines réelles et inégales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série convergente; et, pour y parvenir, il suffit de poser z=:A, dans les développements des racines de l’équation (2’]) oxx (3i), en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de i, ces séries ayant pour premiers fermes les racines de l’équation (aS) ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fractionnaires de k, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances ascendantes et entières des valeurs de A , propres à vérifier l’équation binôme (26) ou (3o).

Concevons maintenant que la fonction f(x) étant toujours de (orme réelle, l’équation (i) ait encore ses racines toutes distinctes les unes des

autres, par conséquent inégales, mais non toutes réelles. Soient, dans ce cas, m le nombre des racines réelles de l’équation (i), et

(32) ayb,c, d,. g, h,

ces mêmes racines, rangées d’après leur ordre de grandeur ; deux de ces racines réelles prises consécutivement , par exemple , a et b , comprendront toujours entre elles au moins une racine réelle de la dérivée (i3). Car si, en supposant x réelle, on fait croître cette variable x entre les limites x = «, x = b, la fonction f(x), nulle à ces deux limites, acquerra dans l’intervalle au moins une valeur numérique maximum, pour une valeur réelle de x, qui fera évanouir la dérivée ('(x). Donc, le nombre des racines réelles de l’équation (i) étant /n, le nombre des racines réelles delà dérivée (i3) ne pourra être inférieur à m — i, et le nombre des racines imaginaires de la dérivée ne pourra surpasser le nombre des racines imaginaires de l’équation (i), c’est-à-dire n — m. D’autre part, si l’on nomme

ce “4- Q y/ — I , ce — € V^-*~ I J

deux racines imaginaires conjuguées de l’équation (ï3), les valeurs principales de f(x) correspondantes à ces racines seront elles-mêmes conjuguées

et de la forme

Aq-B\/ — I, A — B [/ — I,

A , B désignant deux quantités réelles dont la seconde deviendra positive, quand on choisira convenablement le signe de ^ ; et les valeurs principales du paramètre i correspondantes aux mêmes racines seront , pour l’équation (27) ,

ou , ce qui revient au même ,

(33) i — k -\-B — PlŸ — I 5 i = k — B — k\/ — i, et pour l’équation (3[)

Or, la première des expressions (33) et la seconde des expressions (34) offriront évidemment des modules supérieurs à k. Donc, si, pour l’équa-

tion (ay) ou (3i), on détermine les modules principaux du paramètre/, ceux de ces modules qui surpasseront la quantité positive k seront en nombre égal ou supérieur à la somme qu’on obtient en ajoutant au nombre des racines réelles de l’équation dérivée (i3) la moitié du nombre de ses racines imaginaires. Donc, le nombre des modules principaux de i qui ne sui passeront pas la quantité k sera égal ou inférieur au nombre des couples de racines imaginaires de l’équation (i3), par conséquent égal ou inférieur au nombre des couples de racines imaginaii es de l’équation (i), c’est-à-dire à

Cela posé, si, en attribuant au paramètre / une valeur réelle et positive, on fait croître cette valeur par degrés insensibles , depuis / = o jusqu’à i =: k, les racines de l’équation (27) ou (3i) commenceront par être développables, chacune séparément, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de /, et ne cesseront pas de l’être, si l’on remplace la valeur réelle et positive, attribuée à /, par une valeur imaginaire dont cette valeur réelle soit le module.

Les mêmes séries continueront d’être convergentes, tant que la valeur positive du paramètre / ou son module restera inférieur à tous les modules principaux de ce paramètre. Mais, le module de i venant à croître, les racines devront être distribuées en divers groupes, dont le nombre, d’abord égal à n, c’est-à-dire au degré de l’équation (i), diminuera d’une unité chaque fois que deux racines comprises dans deux groupes différents deviendront égales entre elles, pour une valeur donnée du paramètre /. Alors ces deux groupes se réuniront en un seul, composé de racines dont la somme, ainsi que celle de leurs puissances entières de degré quelconque, continuera d’être développable suivant les puissances ascendantes de /. Si trois, quatre,... racines comprises dans trois, quatre,... groupes différents devenaient égales entre elles, la valeur princrpale correspondante du paramètre / se trouverait fournie par une valeur principale de x, qui serait elle-même une racine double, triple,... de l’équation (i3). Alors aussi , le module de / venant à croître au-delà de sa valeur principale , les trois, quatre,... groupes différents se réuniront en un seul. Il suit de ces diverses remarques que, si l’on nomme

le nombre des groupes correspondants à un module donné de /, le nombre

entier l ne pourra surpasser le nombre des modules principaux de i inférieurs au module donné. Donc, si ce dernier module est égal à A:, le nombre /, d’après ce qui a été dit plus haut, ne pourra surpasser la quantité

et pour chacune des équations (ay), (3i), réduites à l’équation (i), en vei tu de la supposition iz=k, le nombre des groupes de racines surpassera la différence

» Il y a plus, si l’on nomme m' le nombre des racines réelles de l’équation (i3), le nombre des couples de ses racines imaginaires, savoir :

sera égal ou supérieur au nombre des modules principaux de / qui ne surpassent point la quantité A:; et par suite, le nombre des groupes de racines, pour l’équation (ay) ou (3i), réduite à l’équation (i), en vertu de la supposition i = k, sera égal ou supérieur à la différence

Supposons maintenant que, parmi ces groupes, ceux qui renferment une seule racine soient en nombre égal à w,, ceux qui renferment deux racines en nombre égal à n,, ceux qui renferment trois racines en nombre égal à «3, etc. On aura tout-à-la-fois

(Sy) H, q. «J }. „3 j, . . = ou> ,

(38) n, -f- 2/ia -1- 3«3 -f . . . = n,

puis on en conclura

71 q- re, = OU>> 2 (« -j-R, -f-ns + . . . ) ou > I q- Tw' q- 71, par conséquent ,

(39) 71, = ou ^ I -f 77l', 71,

Donc, le nombre n, des racines qui resteront isolées, et séparément développables, suivant les puissances ascendantes de i=:k, surpassera le nombre m' des racines réelles de la dérivée. On peut donc énoncer le théorème suivant.

2* Théorème. La fonction f (jc) étant supposée de forme réelle , l’équation

considérée comme déduite de la formule (27) ou (3i) par la supposition i = k, offre plus de racines développables en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes de f, que l’équation dérivée

n’offre de racines réelles.

Corollaire. Il en résulte que, dans tous les cas, une racine au moins de l’équation (i), si le degré n est un nombre impair, deux racines, si le degré n est un nombre pair, pourront être immédiatement développées en séries convergentes.

» Les théorèmes i et 2, ainsi que j’en ai fait l’observation dans ma lettj e du 24 février, sont du nombre de ceux auxquels j’étais parvenu à Turin. En s’appuyant sur ces théorèmes on pourrait développer successivement en séries convergentes toutes les racines d’une équation donnée f (x) = o. Car, après avoir développé une première racine on pourrait en développer une seconde x, considérée comme racine de l’équation

OU x"— jr"- X"-*-!- . . • =0,

X — - OTo

puis une troisième x, , . . . et ainsi de suite. Si la racine Xo devenait imaginaire ou de la forme a -j- ^ V — 1 , alors f (x) étant de forme réelle, on connaîtrait immédiatement la racine imaginaire conjuguée a — C [/ — i , et, en nommant a*, cette dernière, on pourrait développer une troisième racine x, co-nsidérée comme propre à vérifier l’équation

^n-i p ^ a ) j-n-i j etc . . . = O ,

etc... On pourra, d’ailleurs, déterminer les limites de l’erreur que l’on commettra sur une racine en réduisant son développement à un nombre fini de termes, et réciproquement déterminer une limite du nombre des termes qu’il faudra conserver pour obtenir la valeur de chaque racine avec une certaine approximation, par exemple, à ^ près, N étant un nombre entier quelconque. Les problèmes de ce genre sont précisément l’objet du nouveau calcul que j’ai appelé calcul des limites, et qui s’applique même aux équations transcendantes. (Voyez le mémoire présenté à l’Académie de Turin , le 1 1 octobre i83i.)

Je passe à la démonstration du 3* théorème énoncé dans ma lettre du a/f février.

Soient a, ê deux quantités réelles, étant toujours une fonction entière de forme réelle, et

(4o) X = ec s [/ — I

une valeur de x propre à vérifier l’équation ou (3i) pour une valeui donnée réelle ou imaginaire de i. Si l’on fait varier cette dernière par degrés insensibles, en faisant croître son module, la valeur de et par suite celles de a, C varieront elles-mêmes par degrés insensibles ; mais C ne pourra changer de signe avant que le module de i devienne supérieur à k. En effet, C ne pourra changer de signe sans passer par zéro, c’est-à-dire sans que æ devienne réel, et pour une valeur réelle de x l’équation (27) ou (3i) fournira un module de i équivalent à l’expression (23), par conséquent, égal ou supérieur à k, suivant que x sera ou ne sera pas racine de l’équation (i). Il résulte de cette observation , que le module de i venant à croître depuis la limite zéro jusqu’à la limite k, le coefficient C de — i» dans une racine imaginaire de l’équation (27) ou (3i), ne pourra jamais changer de signe, mais seulement s’évanouir pour si l’équation (i)

a des racines réelles. D’ailleurs , avant de se réunir dans un même groupe, deux racines imaginaires de l’équation (i), dans lesquelles les valeurs de ê ou les coefficients de y/ — i se trouvent affectés de signes contraires, doivent devenir égales entre elles, ainsi qu’à une valeur principale de X, et par suite l’un de ces coefficients doit changer de signe. Donc, puisque ce changement ne saurait avoir lieu, avant que le module de i devienne supérieur à k, nous devons conclure que les racines imaginaires de l’équation (27) ou (3i), dans lesquelles le coefficient de \/ — i sera positif, resteront séparées des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V/ — I sera négatif, tant que l’on aura

(40 mod. i <[ k.

Alors chaque groupe sera exclusivement formé des unes ou des autres; par conséquent la somme des unes, aussi bien que la somme des autres , sera développable, avec la somme de leurs puissances entières de degré quelconque, suivant les puissances ascendantes du paramètre i. D’ailleurs, tant que la condition (4i) sera remplie, il est évident que l’équation (27) on (3i) n’admettra point de racines réelles.

I.orsque i devient précisément égal à k , l’équation (27) ou (3i) se réduit à l’équation (i), et peut offrir des racines réelles. Mais alors la somme des racines dans lesquelles le coefficient de \/ — i avait un signe déterminé, ne pourrait cesser d’être développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de f, qu’autant qu’une valeur principale de /, correspondante à une valeur principale de x dans laquelle & s’évanouirait, c’est-à-dire à une valeur principale et réelle de x, offrirait pour module le nombre k. Alors aussi, l’expression (aS) devant se réduire à A*, on aurait à la fois

et par conséquent l’équation (1) admettrait des lacines égales, contre l’hypothèse généralement admise dans ce qui précède. Donc, en revenant à cette hypothèse, nous pourrons énoncer la proposition suivante.

3® Théorème. La fonction { (x) étant supposée réelle et entière, si l’on distribue les racines toutes imaginaires de l’équation (26) ou (29) en deux suites distinctes, la première suite comprenant les racines dans lesquelles le coefficient de \/ — 1 est positif, et la seconde suite les racines dans lesquelles le coefficient de V — i est négatif; les mêmes conditions seront remplies, pour un module de i inférieur à A, par les racines de l’équation (27) ou (3i), qui pourront être distribuées en deux nouvelles suites correspondantes aux deux premières, et composées chacune de racines dans lesquelles les coefficients de \/ — 1 seront tous et toujours affectés du même signe. Alors la somme des termes de la troisième ou quatrième suite , ainsi que la somme de leurs puissances entières de degré quelconque, sera développable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de i, le premier terme de la série étant la somme des termes de la première ou seconde suite , ou de leurs puissances entières du degré donné. Si l’équation (i) n’a point de racines égales, les séries obtenues ne cesseront pas d’être convergentes quand on posera i = k, ce qui réduira les formules (27) et (3i) à l’équation (1) elle-même, et par conséquent l’équation (1) pourra être décomposée en deux autres dont les racines coïncideront respectivement avec les termes de la troisième suite, puis avec les termes de la quatrième.

Corollaire. Parmi les racines réelles que peut admettre l’équation (i), il importe de savoir quelles sont celles qui devront être censées appartenir à la troisième suite ou à la quatrième. Or, pour décider cette question

i^lativeraent à une racine donnée de l’équation (i), à la racine a, par exemple, il suffira de rechercher si, en considérant la racine a comme la limite vers laquelle converge une racine imaginaire de l’équation (27) ou (3i), tandis que le module de i croît et converge vers la limite A:, on doit supposer dans cette racine imaginaire le coefficient de sJ — i ou positif ou négatif. Soit

la racine imaginaire dont il s’agit, cf, g désignant deux quantités réelles, qui deviennent infiniment petites pour une valeur de i infiniment rapprochée de et s’évanouissant pour i=k. Posons en outre

(43) f(a q- J' db = D dr eEv/^,

D, E désignant encore deux quantités réelles. En vertu des formules (42), (43), les équations (27) et (3i) donneront

(44) / = A- q- eE - DV/— 1,

(45) i z= k — tE -f- D — I ,

la valeur de E étant

î\£i -p ^ -4" 6 — 1 ) — f (rt J' — ( y/ I )

Donc, pour que la valeur de i fournie par l’équation (27)011 par l’équation (3i) offre une partie réelle inférieure à A , et à plus forte raison un module inférieur à A, il sera nécessaire que le signe de g, ou du coefficient de\/ — i dans {(x)f soit opposé, dans le premier cas, pareil dans le second, au signe de la quantité réelle E déterminée par l’équation (46)- Mais, pour des valeurs infiniment petites de g et «T, cette quantité se réduit sensiblement à

f (a -1- <^) ou f (a).

Donc, les racines réelles de l’équation (i) étant ‘considérées comme des limites vers lesquelles convergent des racines imaginaires de l’équation (27) ou (3i), tandis que le module de i croît et converge vers la limite A, le coefficient de \/ — i dans chacune de ces racines imaginaires, offrira un signe dépendant de celui que prendra la fonction dérivée pour une valeur de x égale à la racine réelle correspondante de l’équation (i), savoir, un signe opposé à celui de f'(j^), s’il s’agit de l’équa-

tion (27), et un signe pareil à celui de f'(jc), s’il s’agit de l’équation (3i}. En conséquence, parmi les suites de racines mentionnées dans le théorème précédent, la troisième comprendra les racines réelles de l’équation (i), propres à fournir des valeurs ou négatives ou positives de la fonction dérivée f'(j^), et la quatrième les racines réelles propres à fournir les valeurs ou positives ou négatives de f'(^), suivant que l’équation (i) sera déduite, par la supposition i=k, ou de la formule (27), ou de la formule (3i). D’ailleurs, les racines réelles

de l’équation (i) étant rangées d’après l’ordre de leurs grandeurs, lorsqu’on reviendra, en suivant l’ordre inverse, de la dernière A à la première a, ces racines fourniront des valeurs de alternativement positives et négatives , la valeur f'(/i) qui correspond à la dernière racine étant positive. En effet, la fonction qui s’évanouit quand x se

réduit à l’une de ces racines, doit nécessairement, dans le passage de l’une à l’autre, commencer par croître et finir par décroître, ou commencer par décroître et finir par croître. Mais, à partir du moment où la valeur croissante de x atteint la dernière racine réelle ù, il faut que la fonction f(xj croisse pour devenir positive , puisque avec son premier terme x" elle doit être positive pour de très grandes valeurs dex. D’autre part, on sait que la dérivée f'(x) est positive ou négative, suivant que la fonction f(x) croît ou décroît pour des valeurs croissantes de x. Cela posé, si le nombre in des racines réelles a, b, Cjd, . . .g^k est impair,

la fonction dérivée f'(x) sera négative pour ^ - ■ , racines réelles, savoir

ni A- \ , , ,

et positive pour — ^ — , racines reelles, savoir :

Si au contraire le nombre m est pair, la fonction f'(x) sera négative pour racines réelles, savoir i

et positive pour racines réelles, savoir :

Donc , si l’on pose pour une valeur impaire de m,

et pour une valeur paire de //z,

(49) uz={x—a) {x—c). . .{x—g), (5o) v=z{x—b) {x—d), ..{x—h),

Si d’ailleurs on nomme ü le produit des facteurs simples, qu’on obtient en retranchant successivement de x les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de — i est négatif, et V le produit des facteurs simples conjugués aux premiers; la troisième et la quatrième des suites mentionnées dans le théorème précédent, auraient pour termes les racines de l’équation (j), propres à vérifier la première et la seconde des deiu formules

(5i) «U = O, (Sa) wV = O,

ou bien encore la première et la seconde des deux formules

suivant que l’on supposera l’équation (i) tirée de la formule (27) ou de la formule (3i), par la supposition i—k. D’ailleurs, les coefficients des équations (5i)ou (fia), et (fi3} ou (54)i se déduiraient sans peine de la somme des termes de la troisième ou quatrième suite, et de la somme de leurs puissances semblables et entières des divers degrés. Donc l’équation (1), ou

(55) wt.UV = o,

pourra être, en vertu du troisième théorème, décomposée à volonté, soit dans les équations (fii) et (fis), soit dans les équations (53) et (fi4)- Mais, en divisant par leur plus grand commun diviseur les premiers membres des équations (fil) et (fi3), ou (fia) et (54), on réduira ces équations à

De même, en divisant par leur plus grand commun diviseur les premiers membres des équations (fi i) et(fi4), ou (fia) et (fi3), on réduira ces équations à

(57) U = o, Vr=o.

On peut donc énoncer le théorème suivant.

4“ Théorème, La fonction entière f(a:) étant réelle, et les racines de

l’équation (i) inégales entre elles, cette équation pourra toujours être décomposée en quatre autres , qui offrent seulement :

» La première, les racines réelles pour lesquelles i'{x) est négatif; » La seconde, les racines réelles pour lesquelles V{x) est positif;

» La troisième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V'" — I «“St négatif;

» La quatrième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de s/ — I est positif.

» Corollaire, Cette proposition coïncide avec le 3® théorème de ma lettre du 24 février, et lorsqu’on la joint’au i" théorème, elle fournit la détermination complète des racines réelles d’une équation de degré quelconque. J’ajouterai que cette détermination peut encore être simplifiée à l’aide des considérations suivantes :

» Soient s la somme des racines de l’équation (i), ou de leurs puissances semblables d’un degré donné /, et

la somme des puissances semblables et de même degré, des racines de l’équation (5i),

désignant trois quantités réelles. Il est clair que les sommes des puissances semblables et du degré /, des racines des quatre équations (5i), (52), (53), (54) seront respectivement, pour les équations (5i) et (Sa)

et pour les équations (53), (54)

(60) J — S4Tl/^, (Ô!) S — TV/^^.

Gela posé, si l’on retranche l’expression (58) de l’expression (60), la différence

représentera évidemment la somme des puissances semblables, et du <legré Z, des racines réelles de l’équation (1), ces puissances étant prises avec le signe + ou avec le signe — , suivant que les racines réelles dont il s’agit vérifieront l’une ou l’autre des formules

c’est-à dire suivant que les valeurs de correspondantes à ces racines seront positives ou négatives. On aura donc, pour des valeurs impaires de m,

et, pour des valeurs paires de m,

Si le nombre l est impair, la formule (63) ou (64), dans laquelle S représente la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de i = k^ fournira, pour une valeur impaire de m, la somme des puissances semblables, et du degré /, des m racines de l’équation

(65) (x— <7) (x-f ^») (j:— c) (ar + rf). . . (r -f- ^) (x— A)==o,

OU, pour des valeurs paires de /n, la somme des puissances semblables et du degré Z, des m racines de l’équation

D’ailleurs étant donnée pour une équation du degré /w, la somme des puissances semblables des racines , des degrés représentés par les nombres

on en tire aisément, à l’aide de formules toutes linéaires, les coefficients des diverses puissances de x dans le premier membre de cette équation. On peut donc énoncer encore la proposition suivante.

5® Théorème. La fonction f(a-) étant supposée entière et de forme réelle, et les racines de l’équation (i) inégales entre elles, on pourra déterminer immédiatement à l’aide de séries convergentes, les coefficients d’une autre équation qui offrirait seulement pour racines les racines réelles de l’équation (i), prises avec le signe -f- ou avec le signe — , suivant qu’elles correspondent à des valeurs positives ou négatives de

Corollaire. Le théorème 5' joint au i", suffit à la détermination de toutes les racines réelles d’une équation de degré quelconque. Je me propose de revenir, dans une note nouvelle, sur cette détermination, d’éclaircir encore ce qui a été dit ci-dessus, en montrant la méthode appliquée à des exemples numériques, et d’établir d’autres théorèmes relatifs à la résolution des équations. Parmi ces théorèmes, on doit distinguer ceux auxquels on est conduit, lorsque dans les formules (17), (18), (19), la valeur de

'fier cesse d’être égale à =fc On doit surtout remarquer le cas où l’on

a = I. On peut aussi établir facilement la proposition sui-

vante :

6* Théorème. O (x) et <zff (.r) désignant deux fonctions entières, la première du degré n, la seconde du degré m<in, et dans lesquelles les coefficients des plus hautes puissances de n sont réduits à runité; supposons que les racines réelles et finies des deux équations

(67) n(x) = 0, (68) ■sr{x) = 0,

étant rangées par ordre de grandeur, forment la suite

et, C, y,., . A, ».

En donnant à cette suite, pour termes extrêmes — 00 , -f- 00 , on obtiendra celle-ci ,

et, si l’on nomme i une quantité réelle positive, deux termes de la dernière suite, pris consécutivement, pourront comprendre entre eux des racines l'éelles d’une seule des deux équations

(70) U{x) — i-!T{x)=zo, (71) U{x) i-sr{x) = O.

Si l’on nomme 1'% 2®, 3'... intervalle, les intervalles compris entre le i" et le 2® terme, entre le 2® et le 3% entre le 3® et le 4% etc. . . les racines réelles de l’équation (70) ne pourront être renfermées que dans le i*% le 3% le 5',. . . intervalle, lorsque n — m sera pair, et dans le 2*, le 4*» le 6*. . . intervalle, lorsque n — m sera impair. Ce sera l’inverse pour l’équatino (71). De plus, le nombre des racines réelles de l’équation (70)00 (71) qui pourront se trouver comprises dans l’intervalle compris entre deux termes consécutifs de la suite (70), par exemple, entre Q et y , sera impair, si ces deux termes sont racines réelles, l’un de l’équation (67), l’autre de l’équation (68). Le même nombre sera pair et pourra se réduire à zéro dans le cas contraire.

Nota. Lorsque deux, trois... racines de l’équation (70) ou (71) deviennent égales , on ne doit pas cesser de la considérer comme représentant deux, trois. . . termes de la suite (69). Seulement ces termes sont égaux entre eux.