rJo l «iV

9. Inégalités tirées du théorème de M. Jensen. Convenons de désigner, avec M. Borel, par M(r) le maximum du module de la fonction f{x) sur le cercle \x\ = r, et admettons que f{ 0)=1. De la formule (7)’ nous tirons immédiatement l’inégalité

Cty

en supposant d’abord que r vérifie la condition [«„ | < r< | an+ , |.

Mais il est facile de voir que cette inégalité subsiste quelle que soit la valeur de r , En effet, si r est par exemple compris dans l’intervalle ! i < r < |aM + fc+1 i, on aura d’abord l’inégalité

l) J.-L.-W.-V. Jensen: Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions , Acta Mathematica Tom. 22. En modifiant quelque peu la démonstration du texte, on établit de même le théorème de M. Jensen relatif aux fonctions méromorphes.

Ernst Lindelôf.

a. n -j- le

a\ a2‘ ‘ ‘ an + k

Or, en écrivant ie premier membre sous la forme

on voit qu’il est supérieur ou égal au premier membre de l’inégalité (8). Celle-ci reste donc valable pour r > | an + l j et, par un raisonnement tout à fait analogue, on conclut qu’elle subsiste aussi pour r<|an|. Donc:

Etant donnée une fonction entière quelconque dont la valeur à l’origine est égale à V unité: si a,, a2 , • • • , an, • • • , désignent les zéros de cette fonction , rangés par ordre de modules croissants, et M (r) le maximum de son module sur le cercle \ x\ — r , l’inégalité

iaia2’--a„l r"

est vérifiée pour toutes les valeurs de r et de V indice n.

D’après une propriété bien connue des fonctions analytiques, M(r) croit constamment avec r. Supposons qu’on ait

M(r)<eV(r\

V{r) étant une fonction croissante, telle que la fonction ip (r) = r V' (r) soit également croissante, et admettons, pour plus de simplicité, que V(0)~ 0.

Cherchons le minimum de l’expression

,y tt

En égalant à zéro sa. dérivée par rapport à r, on trouve la condition

rV’(r) — n , ou bien ip(r) = n,

d’où l’on tire, en désignant par ip la fonction inverse de la fonction if,

. . „ . x (" qj (r) , C n g' (n) ,

(fin), T (r) = I y-E±dr—\ —~^—-dn,

Jo r J o

de sorte que ie minimum cherché devient

n-tinldn

Nous obtenons donc le résultat suivant (en supposant toujours f(0)—l ):

T. XXXI

Mémoire sur lu théorie des fonctions entières.

Si, pour toutes les valeurs de r, M (r) vérifie la condition (10) M(r)<erw\

V (r) et rVf{r) = ip(r) étant des fondions continues et croissantes, et F(0) = 0, on a, pour toute valeur de V indice n, l’inégalité

la n

et par suite , à plus forte raison, l’inégalité

n J ~ifi

cp (n)

Et nous pouvons évidemment ajouter:

Si la condition (10) n’est vérifiée qu’à partir d’une certaine valeur de r, les inégalités (11) et (12) subsisteront à partir d'un certain indice n.

Remarquons enfin que, si F(0) n’est pas égal à zéro, ou si les fonctions V (r) et tp (r) ne sont continues et croissantes qu’à partir d’une certaine valeur de r, cas qui se présentera dans la suite, on doit prendre comme limite inférieure de l’intégrale figurant dans les inégalités précédentes une constante positive convenablement choisie, et en même temps multiplier le second membre de (11) par un certain facteur numérique, et par suite le second membre de (12) par un facteur de la forme 1 4- e (n) , e (n) tendant vers zéro lorsque n tend vers l’infini.

10. Théorème sur la partie réelle d’une fonction entière. — Nous terminerons ce chapitre en rappelant la démonstration du théorème suivant de M. Hadamard:

Soit f(x) une fonction entière et U sa partie réelle : s'il existe une infinité de cercles, ayant l'origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels une inégalité de la forme

U < Arl

est vérifiée, A désignant une constante positive et X un entier positif ou nul, la fonction f(x) se réduit à un polynôme de degré inférieur ou égal à X.

Si la condition précédente est vérifiée quelque petite que Soit la constante A, f(x) est un polynôme de degré inférieur à X.

Soit

f(x) = '£.cnx", cn = a„ H- 5

Ernst Lindklôf.

les «et (i étant réels. Si l’on pose x — rei(P, la partie réelle de f{x) s’écrit

U— a0 -}- V rn (cen cos nq> — @n sin nip),

d’où l’on tire, pour w> 0,

/>2ir ~2 n

j Ucosu(pdcp = srrnanl U sin n<fd(p — — srr" p*,

et par suite

ftrncn= Ç Ue~n<<Pd(p, J o

et, pour n— 0,

2srcc0=Ç jjdtp.

Il s’ensuit

*rH\cn\< f \U\d(f,

et, en ajoutant la dernière égalité,

/*2ir

r” \c»\ + 2secco< \ [U-\-\U\)d(p .

st r

Or U Jsr\U\ est égal à 2 U ou à 0, suivant que U est positif ou négatif. En vertu de notre hypothèse, il vient donc, pour n —

ou bien

r^ + k | el + k j -f 2sr«0 <.’ 4 stAr*1, , , 2KL 4A

I t-tl- I ^ + ' rk 1

inégalité qui sera vérifiée sur chacun des cercles dont il est question dans le théorème ci-dessus. Connue le second membre, dès que &>0, tend vers zéro lorsque r tend vers l’infini, on en conclut que les coefficients , , cl + 2 , • • - sont tous nuis, et que par suite f(x) se réduit bien à un polynôme de degré inférieur ou égal à A, comme le dit le théorème.

La dernière partie de ce théorème se démontre de même en égalant, dans l’inégalité ci-dessus, le nombre k à zéro.

Il n’est guère nécessaire d’ajouter, que le théorème que nous venons de démontrer s’applique aussi bien à la partie imaginaire d’une fonction entière qu’à la partie réelle.