FONCTION ENTIÈRE ET LA DENSITÉ DH SES ZÉROS

11. Définition de l’ordre apparent d’une fonction entière; relation entre l’ordre apparent, l’ordre réel et le genre. — f(x) étant une fonction entière quelconque de genre p, et M (r) désignant le maximum de son module sur le cercle \x\ — r, nous savons, d’après la remarque qui termine n° 3, que l’inégalité

et par suite, à plus forte raison, l’inégalité

est vérifiée dès que la valeur de r dépassera une certaine limite finie. Nous en concluons, pour toute fonction donnée de genre fini, l’existence d’un nombre p répondant à la condition suivante:

Quelque petit que soit le nombre positif f, l'inégalité

(13) M (r) < er 1

est vérifiée à partir d'une valeur finie de r , et l’inégalité

(14) M (r) > e'’ pour des valeurs r dépassant toute limite donnée.

A l’exemple de M. Borel, nous appellerons ce nombre g l’ordre apparent de

la fonction considérée. Parfois nous dirons aussi que M(r) est d ordre e .

Le problème fondamental qu’il s’agit de résoudre se pose ainsi:

Étant donnée une fonction entière f{x) dont on suppose l'ordre apparent égal à que peut-on dire de son ordre réel et de son genre?

On peut évidemment supposer /' (0) = 1 sans nuire à la généralité. En effet, si cette hypothèse n’est pas réalisée et si cxm est le piémiet terme du développe-

Ernst Lindelôf.

ment de f (x) suivant les puissances de la variable#, on peut écrire f (x) — cxMfl (x) , la fonction fx (x) étant d’ordre apparent p et f\ (0) — 1 .

Nous pouvons donc appliquer le dernier théorème du n° 9, en y faisant V{r) — ruf£. En gardant la notation de ce numéro, nous trouvons successivement

Ip(r) = {y, + s)rfl + s ,

1 Ç* nu* (ri) j 1

— — dn = ■ »

nJ o 9>(») ,« + e

et par suite, d’après (12),

inégalité qui subsistera pour « suffisamment grand, quelque petit qu’on ait donné s.

Donc la série > j — i converge dès que e est positif, d’où cette première con- *“J i an I

clusion :

L’ordre réel d’une fonction entière ne saurait dépasser son ordre apparent. Dès lors, la fonction considérée f{x) peut se mettre sous la forme

fix)

rHv4

G (x) étant une fonction entière et q un nombre entier <p, ce qui résulte des inégalités q < P, p < p .

Appliquons maintenant le théorème du n° 7. Il nous apprend l’existence d’une infinité de cercles ayant l’origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels est vérifiée l’inégalité

-rf

Comme d’autre part, d’après l’hypothèse,

\f{x)\<fe

dès que r est supérieur à une certaine limite, l’égalité (15) nous donne donc, sur tous ceux des cercles envisagés dont les rayons dépassent cette même limite,

ou bien