T. XXX L
Mémoire sur la théorie des (onctions entières.
JjU fonction G (x) se réduit a un polynôme de degré k < g
Pour pousser plus loin la discussion, nous devons distinguer deux eus:
Po Le nombre g n est pus entier — D’après ce que nous venons de dire, le degré k du polynôme G <x) est inférieur à g. Quant a l'ordre réel n. je dis qu’il est égal à g. En effet, nous avons montré plus haut qu ou a toujours p< g. Mais si g était inférieur à gy on pourrait conclure du théorème du n° 3, en désignant par un nombre inférieur à g mais supérieur à p et. à k, que l’inégalité
Mtr) < e
subsiste à partir d'une valeur finie de r, ce qui est contraire à l’hypothèse (14). Donc on a bien p — g, et par suite, le genre p est égal au nombre entier qui précédé immédiatement le nombre g.
Inversement, toute fonction entière (15) telle que p - g , k < g , est bien d'ordre apparent g. Cet ordre, en effet, ne saurait être supérieur à p, à cause du théorème du n° 3, ni inférieur à p, en vertu du premier résultat établi ci-dessus.
2:o g est un nombre entier. — L'un des nombres k et p doit être égal à g , sans quoi on se trouverait de nouveau en contradiction avec l’hypothèse (14). Si k ~ g . p peut avoir une valeur quelconque <g. En effet, i! suit du théorème du n° 3 que, pour ces valeurs de k et de p , l’ordre apparent de la fonction (35) n’est pas supérieur à g, et. d’autre part on peut conclure des propriétés de la fonction exponentielle et du théorème du n° 7 ou (dans le cas ou p — g) de la première proposition établie ci-dessus, que cet ordre n’est pas davantage inférieur a g. — Dans ce cas le genre p est égal à g.
Si k<(g, on a nécessairement p—g. D’ailleurs on voit, par le même raisonnement que dans i'hypothese l:o, qu’une fonction entière (lô) pour laquelle ces conditions sont remplies, est bien d’ordre apparent g — Quant au genre p. il y a dans ce cas indétermination. En effet, on aura p — g — 1 ou p— g , suivant que la V'' ! 1 l‘ 1
sene > I — I est convergente ou divergente
érnJ \ a I
Si f i;x) est de genre g — 1, l’inégalité
comme nous l avons déjà, dit, subsistera pour r suffisamment grand, quelque petit que soit £. tandis qu’on aura d’autre part
pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes, puisque la fonction est supposée d’ordre apparent g. Nous exprimerons ce fait brièvement en disant que
M {r) est d'ordre ee ' .
Ernst Lindelof.
Mais, comme l’a fait remarquer M. Poincaré, et comme nous le verrons dans la seconde partie de ce Mémoire, il existe des fonctions entières de genre g pour
lesquelles M(r) est également d’ordre e
On voit donc que le cas d’indétermination dont il a été question plus haut, ne
se présente que lorsque M(r) est d’ordre e , mais que, si cette dernière condition est remplie, l'indétermination est bien réelle.
Résumons les résultats de notre discussion:
Étant donnée une fonction entière d'ordre apparent g ; si g> n'est pas un nombre entier , l'ordre réel g de la fonction est égal à g et le genre p égal à l’entier immédiatement inférieur à g.
Si g est un nombre entier , le genre p est égal à g toutes les fois que M(r) n’est
pas d'ordre ec ; mais, si M{r) est d'ordre e , îl y a indétermination relativement au genre, qui , suivant les cas, peut être égal a g ou égal à g — 1 .
12. Extension des résultats précédents. — inégalités diverses. - Le théorème que nous venons de démontrer renferme tous les résultats de MM. Poincaré, Hadamard et Borel relatifs au rapport qui existe entre l’ordre de grandeur du module maximum M{r) d’une fonction entière et la densité de ses zéros. Nous allons voir qu’on peut notablement préciser ces résultats, sans invoquer d’autres considérations que celles du premier Chapitre, et à cet effet nous commençons par établir certaines inégalités.
En reprenant les raisonnements et la notation du n° 9, supposons d’abord qu’à partir d’une certaine valeur de r, M (r) vérifie la condition
M(r) < er<r),
OÙ
V { r ) = A rp (log r)"1 (logf2V)aa • • • (logwr)0l/,
A désignant une constante positive, et cherchons ce que devient l’inégalité (12).
Pour éviter des redites incessantes, nous allons introduire dès maintenant une notation dont nous aurons à faire dans la suite un usage continuel.
x étant une quantité positive variable , continue ou non, mais pouvant prendre des valeurs aussi grandes qu'on voudra , nous désignerons indifféremment par t ( x ) toute fonction de x qui tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. Si x est une variable continue, s ( x ) désignera une fonction continue.
Cela posé, en prenant la dérivée logarithmique de la fonction V(r), on trouve
rV’ (r) rfj(r) «i . , <xv
V{r) ‘ V (r ) “ ' logr ^ log r • • • log^r
T. XXXI
d’où l’on tire
xp (?-) = /> F(r) (1 + « (r)) = (1 + « (r)) Aprp (log r)“' • • • (logu) r)n', et en différentiant encore une fois,
Ces expressions montrent que V (r) et ip (r) sont bien des fonctions croissantes à partir d’une certaine valeur r, comme l’exige le théorème de la page 15.
Posons maintenant tp(r) = n , et résolvons cette équation par rapport à r. En prenant les logarithmes des deux membres on trouve successivement
logw = /ologr(14-« (r)), log(J n = logU)r (1 -f«(r)),
d’où l’on tire inversement
log r = •— log n (1 -f- f (w)), log(2V = log(2>» (1 +e W)), • • •
Par suite, l’équation dont il s’agit nous donne pour r l’expression
r = (l -f-s (n))£~ n (log n)~~a‘ • • • (log An)~ a'j ~ ip (n).
De l’expression de tp'(r) on tire ensuite
ip{ r) n tp' (n) 1 -j- s (n)
rip'(r) tf'in) ~~ p ’
et par conséquent, en choisissant convenablement la limite inférieure de l’intégrale,
1 rn n cp' (n) , 1 + f (w) 1
— I -*-44 an ~
en.i tp(n) e 1 =i(l -f- « (w)) ep .
Donc, en appliquant le dernier théorème du n° 9, nous sommes conduits au résultat suivant:
Si le module maximum M{r) d'une fonction entière satisfait à la condition
M(r) < eArP (Iog r>a' (ioS(üv)“, • • • (log^V)0
ci partir d'une certaine valeur de r, le module [ an j du ri’ n,e zéro de la fonction vérifie l'inégalité
r J° Àe
n (log n) (logw n) “J • • • (logera) “''J*
pour n suffisamment grand, quelque petit qu'on ait donné le nombre positif t.
Si nous avons tant insisté sur les simples calculs qui précèdent, c’est uniquement pour n’avoir pas besoin d'y revenir lorsque dans la suite nous aurons affaire à des questions analogues.
Ernst Lindelôf.
Supposons maintenant, inversement, que les zéros a vérifient pour n>nQ l 'inégalité
( 1 S> !«„!>[» (logn)** • • • (iogCv) nfv ] p ,
p n'étant pas un nombre entier, et cherchons d'abord une limite supérieure du module du produit fini
1 1 E{~a ' p) (JJ < P <p+ 1}-
Ht, ” •
Choisissons un nombre v vérifiant la condition p<C*<Cp- L’inégalité fondamentale du n° 2 nous donne
Il *£■')•<
Pq n
const. rl 2 I —
et d'autre part nous avons, en vertu de l'hypothèse (18),
tt
< ^ [nOogn)"1 • • • (log^n)"-] p .
Le terme général de cette dernière somme est une fonction décroissante de n , pour
n supérieur à une certaine limite, et comme - > — 1, l’intégrale de ce terme
tend vers l’infini avec n. Nous en concluons, par un raisonnement bien connu de la théorie des séries, que la valeur de Ja somme eu question est égale à
(l+£(n')) [w (log rif1 • • • (Joglv)n)ctw j pdn.
D’autre part, comme
i(logw)a‘ • • • (log {>>n)av] p — (1 -j- s (n)) | n[n(logw)“’ • • • (log1 0 ri)"'} ^ j ,
dn \{i — r
cette dernière expression équivaut à
(1+t ( n ’)) — ,U— n'[n’ (logn'f' • • • (log^'V)"* j p .
Donc, en posant
(19) r' == [n/ (log n')*1 • • • (log(t')n')°,']/> ,
d’où il suit inversement
«' = ^ (log r'ra‘ - • • (log (Vr^,
nous trouvons enfin pour le produit considéré une inégalité de la forme
Mémoire svr la théorie, des fonctions entières.
j y» n/æ J const. rT[r,f> T (log r')' a‘ ■ ■ • (\og(v) r’) “H
(20) IIIÆ(i^)<e
Cherchons de même une limite supérieure du module du produit
ii 414
en supposant toujours remplie la condition (18). En choisissant cette fois un nombre r vérifiant la condition p <C T' <C P ~h 1, et raisonnant comme ci-dessus, nous trouvons
successivement
confit, r 2
Sia < 2j [n(1°gn)a* * ‘ P ,
cette dernière expression étant égale à
(1 + e ( n' )) j [w(logw)“‘ • • • (log^ »)“■'] ° dn ,
ou encore à
(1 -f £ (/?/') — - — «'[n'(logn')“‘ * • • (log J n'Ÿv\ p .
En usant encore de la notation (19), nous arrivons donc à cette inégalité:
const. r~ [r'p r (logr') • • • (log'v' r') “>] e
Nous devons faire remarquer que, d’après notre raisonnement, les facteurs constants figurant dans l'exposant de e aux seconds membres des inégalités (20) et (21), peuvent être choisis de telle manière, que ces inégalités subsistent quelle que soit la valeur de n' (>«„), pourvu qu'c-n détermine toujours r' par l’égalité (19).
Soit maintenant une fonction entière de genre p
dont les zéros, pour n>w0, vérifient l’inégalité (18), le nombre p étant assujetti à la condition p < p < p 4 1 •
Nous nous proposons de trouver une limite supérieure du module maximum M(r ) de cette fonction, et à cet effet nous partageons ses facteurs en trois groupes, en écrivant
Ernst Lindelôf.
Il, — 1 », CC
w4e(ni)-n-iL 1 » „ », + 1
chaque signe U portant sur l'expression E / — , p)
la condition
et l’entier rq étant déterminé par
(22) [nj (logn/1 • • • (log<v)Ottv]p < r < [(Ri + 1) (log (wx -f l))"1 • • ♦ (logw(»i + 1 .
Le module du premier de ces trois produits est inférieur à une expression de
, c const. rp
la forme e
Pour le module du second produit, l’inégalité (20), où le nombre / est maintenant égal au premier membre de (22), c’est-à-dire à r(l + s(r)), fournit une limite supérieure de la forme
const,. rp (log r)~ • • • (log^r)- av
Enfin, l’inégalité (21) nous donne pour le troisième produit une limite supérieure de la même forme. Donc, nous avons démontré ce théorème:
Si les zéros d’une fonction entière de genre p, à partir d'un certain d'entre eux , satisfont à la condition
(18) | aj > jw(logw)“’ (log(2)w)“2 • • • (log|l,)w)°l']p, (p< p<p + l),
le module maximum M (r) de cette fonction vérifie l’inégalité
A rp (log r) a«(log(2,ri “* • • • (log(v) r) **
où A est une constante positive ’).
On peut se demander quelle est la limite inférieure des valeurs qu’ii est permis
d’attribuer à la constante A, sans que l’inégalité (23) cesse d’être vérifiée à partir
de quelque valeur finie de r, les zéros étant assujettis à la seule condition (18).
La proposition de la page 21 nous montre que cette limite certainement n’est pas
inférieure à
Mais les méthodes très élémentaires dont nous avons fait
usage jusqu’à présent, ne sauraient fournir la valeur exacte qu’on demande, et ce
') Ce théorème résulte d’une proposition établie antérieurement par M. Pierre Boutroux dans une Note insérée aux Comptes rendus (du 4 février 1901), qui nous avait complètement échappé et sur laquelle M. Boutroux, dans une Note ultérieure dont nous aurons encore à parler, a bien voulu appeler notre attention. Nous pensons cependant que la démonstration que nous donnons ci-dessus, présente, sur celle qu’a esquissée M. Boutroux dans sa Note, l’avantage d’une plus grande simplicité.
T. XXXI
Mémoire sur lu théorie des fonctions entières.
n’est qu’à l’aide des considérations du quatrième Chapitre de ce Mémoire que nous parviendrons à la calculer.
Si (> est égal à p ou à p -f- 1 , la proposition ci-dessus n’est plus applicable. Supposons par exemple p=p- fl. L’inégalité (20) restera toujours vérifiée, mais l’inégalité (21) doit être modifiée. En effet, pour que le raisonnement qui nous y a conduit reste valable, nous devons choisir r' = />, et nous sommes ainsi conduits à considérer l'intégrale
/»co — 1
( [n(logn)a‘* • • (log'^M)"1' J dn ,
laquelle (en admettant que > 1) est égale à
1 + « (n') eq — 1
(iog»'y
Uog
(log^’n')
ou bien, avec la notation (19), à
(tq — 1 ) pa'~l
(log r')~ + 1
(log<2V)
(log(l/) r')
Donc l’inégalité (21) devient
ri p/æ \| . consfc.r" f(logr') a, + 1(log,2V) ** ■ • ■ dog(l,V) °']
iii* -.-■*<«
et par suite nous obtenons, au lieu de (23), l’inégalité suivante:
A étant une constante positive. Pour p = p , on arrive au même résultat.
On pourrait être porté à croire que cette élévation de la limite supérieure de M (r) dans le cas où l’ordre réel p est un nombre entier, tient à l’imperfection de la méthode mise en usage. Mais nous allons voir dans la seconde partie de ce Mémoire qu’il n’en est rien, et que nous touchons bien ici à la différence essentielle et profonde, qui sépare ce cas de celui où l’ordre réel n’est pas entier.
13. Définition nouvelle plus précise de l’ordre apparent et de l’ordre réel d’une fonction entière. — Relation entre ces ordres. — Fonctions à croissance régulière. — Les inégalités que nous venons d’établir permettent de préciser beaucoup le théorème du n° 11. Afin d’énoncer le résultat sous une forme plus nette, nous allons poser d’abord certaines définitions nouvelles.
Nous dirons que M [r) est d'ordre e (1°^ n ’log n " n , si l’on a. quel¬
que petit que soit le nombre positif t,
Ernst Lindelôf.
rp (log r)a' • • • (log**1 i)r)a« - 1 (log(^r)®>/+ £
à partir d’une certaine valeur de r, et d’autre part
rp (log r)®1 • • • (log^ ~ l)r)"'v — * (log^V® ~ £
pour une infinité de valeurs r dépassant toute limite donnée. Nous ajouterons que M (r) est à croissance régulière, si la seconde de ces inégalités est vérifiée, comme la première, à partir d’une valeur finie de r, quelque petit que soit s.
De même, nous dirons que \an\ est d'ordre [w(logn)"1 (log<2lw)a2 • • • (log(l')n)“v]'° . si les inégalités
et
> [tt(logn)"1 • • • (log(v‘ l)n)a’v-1 (logfww)a','~ e]P U < [n(logn)a’ • • • (!og<v 1'«)c'l'1 (log {y)rifv + s'Y
ont lieu, la première à partir d’une valeur finie de n et la seconde pour une infinité de valeurs n , quelque petit qu’on ait donné s. Si la seconde inégalité subsiste, comme la première, à partir d’une valeur finie de n, nous ajouterons que ! a \ est à croissance régulière.
Cela posé, on a le théorème suivant:
Si le module maximum M (r) d'une fonction entière est d'ordre
rp (log r)a‘ (lo g(2)r)“J • • ■ (log'-’0?')'*1'
() n'étant pas un nombre entier, le module \ a 1 du n'me zéro de la fonction est d'ordre
(25) [n(logn)" “‘(log (-,n)“* • • • (lo^^n)- a']J ,
et si M (r) est à croissance régulière , il en est de même de aj.
Inversement, si an\ est d'ordre (25), /> n'étant -pas un entier, et si le genre p est inférieur à p, M [r) est d'ordre (24); et si a J est à croissance régulière , il en est de même de M(r).
Pour ce qui concerne le rapport entre les ordres de grandeur de M{r) et de |«Vi il suffira de consulter les propositions établies pp. 21 et 24; nous ne croyons pas nécessaire d’y insister davantage.
Peste à prouver les parties de ce théorème qui sont relatives à la croissance régulière 1). Pour simplifier la notation, nous nous bornerons au cas où, v étant
’) Les propositions concernant la croissance régulière ont été établies par M. Borel pour
le cas où j M.(r) et an j sont respectivement d’ordre ey! et np .Leçons sur les fonctions entières, Note II).
T. XXXI
y P ^ jpg — ■
égal à 1, M(r) et \an\ sont respectivement d’ordre e et [?i(logn)“]/’ . La
démonstration pour v quelconque serait tout à fait analogue.
Voici donc la première proposition que nous devons démontrer:
Si, quelque petit que soit e, M(r) vérifie les conditions
rp (log r)“ E rp (log r)
à partir d'une valeur finie de r, /> n'étant pas un nombre entier, les zéros vérifient les inégalités
[n(logn)' e]p < | an\ < [w(logn) a + e]p
pour n suffisamment grand, quelque petit que soit e.
On suppose démontré que j an est d’ordre [n(logn)~“]/>, c’est à dire qu’on a
an\ > [«(lognra-£]/’
pour n suffisamment grand, et
I a„\ < [n(logn)~a + t]p
pour une infinité de valeurs n. Il reste donc à faire voir que cette dernière inégalité subsiste pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite, et cela quelque petit qu’on donne le nombre positif e.
Si ceci n’était pas vrai, il existerait un nombre positif a tel qu’on eût
(28) i «J > [« (log nr"+"]p
pour une infinité de valeurs n. En nous plaçant dans cette hypothèse, nous allons voir que M (r) ne saurait être à croissance régulière.
Après avoir fixé le nombre «, nous pouvons trouver un entier n0 tel qu’on ait
(29) ! a J > [n (log n)~ “ ~ £] p pour n > n0 ,
et d’autre part un entier nr supérieur à n0 et d’ailleurs aussi grand qu’on voudra, pour lequel l’inégalité (28) ait lieu:
i«J>[*Mlog n1)~a + a]p.
Déterminons encore l'entier n2 par la condition
w2(logn2)a î < nt (log n,ra + ff < («2 + 1) (log(n2+ 1))"'“ et posons enfin N:o 1.
Ernst Lindei.ôf.
ri — [%(logWj) * £]p , r = [wj (log nx) a+'2']/,> r2 = [wjlogn,) “ + *]p, d’où suit, à des facteurs près de la forme l + f(r),
rx = const. r (log /';
p ; r2 = const. r (logr)2 ‘
Cela posé, écrivons la fonction donnée sous la forme
^=(.ffwn)-n-n-n.
