OC
du module de chacun de ces quatre produits sur le cercle | x\—r, r ayant la valeur indiquée ci-dessus.
Le module du premier produit est inférieur à une expression de la forme econst-r Les zéros des t-roia autres produits vérifient tous la condition (29), de sorte que nous pouvons appliquer les inégalités du numéro précédent. Nous trouvons ainsi, à l’aide de (20), que le module du deuxième produit est inférieur à
const. rT [rtp T (log r,)“ + ?J
ou bien, d’après (30), à (31)
const. ry (log r) e
et de meme l’inégalité (21), en observantque [(w2 4- 1 ) (log (n2 -f 1)) “ *]p = r2(l -f- 1 (r2)), nous donne pour le module du quatrième produit une limite supérieure de la forme
ou bien, d’après (30), (32)
const. rT' [r/ T‘ (log r2)a + s] e
const. rp (log r) p 2 e
Reste le troisième produit. Les modules de tous ses zéros étant >|anj et par suite supérieurs à r2, nous trouvons d’abord, en appliquant l’inégalité fondamentale du n° 2, que le module de ce produit est inférieur à
const. n2 e
Or, les inégalités qui définissent n2 nous donnent
n2 == (1 + * 0'2)) Pa + ' r/ (log r2)u f 3,
d’où il suit, en négligeant des facteurs qui tendent vers l’unité lorsque r tend vers qo ,
T. XXXI
^T, = const. r2p T (log r2)“ f £ = const. rp~ ' (log r )
de sorte que nous obtenons aussi pour le module du troisième produit une limite supérieure de la forme (32).
Rappelons que les nombres r et r' ont été choisis de manière à vérifier les inégalités p < r < p < r' < p + 1, de sorte que les différences p — r et r' — p sont positives. Dès lors, en désignant par c, la plus petite des quantités
P~T . g et T'~P.
et en choisissant le nombre e inférieur à d’où suit T c < tt, nous pouvons cou-
zu f) Ct
dure du raisonnement qui précède que l’inégalité
(log r)
est vérifiée pour une infinité de valeurs r dépassant toute limite donnée. C’est dire que M (r) est à croissance irrégulière.
Donc, si M {r) est à croissance régulière, il en est de même de an , ce que nous voulions établir.
Démontrons maintenant la proposition inverse:
Si, quelque petit que soit e , les zéros satisfont aux conditions (27) à partir d'une valeur finie de n, M ( r) vérifie les inégalités (26) dès que r est suffisamment grand , quelque petit qu'on ait donné s.
On suppose démontré que M (r) est bien d’ordre e llogn Nous aurons encore à suivre la voie indirecte. Supposons donc que cette proposition ne soit pas exacte; en d’autres termes, admettons qu’il existe un nombre positif o tel qu’on ait
rp (log r)a
pour des valeurs r dépassant toute limite donnée. Nous allons encore nous heurter à une contradiction.
Après avoir fixé une valeur r2 pour laquelle la condition qui précède est remplie, déterminons rx par l’équation
rx (log rff — T = r./ (log r2)“ - c .
Puisque M(r) est une fonction croissante, nous avons pour r < r2
rx (l°g ri)a ~ ° r\ (log rx)a~ 2 M (r) < e =e ,
Ernst Lindelôf.
et par suite
' (log r)
tant que r restera dans l’intervalle (r1, r2). D’après l’hypothèse admise, nous pouvons d’ailleurs trouver une infinité de tels intervalles (/y, r2), extérieurs les uns aux autres, où cette inégalité est vérifiée.
Dès lors, la première proposition du n° 9 nous donne
- 1 rp (log r)“ 2
pour toute valeur r faisant partie de l’un quelconque des intervalles en question. D’après les calculs de la p. 21, le second membre de cette inégalité atteint son maximum pour
r = <p(ri) = (1 + s (n)) [//' 2 w (log w) af2]%
et ce maximum est égal à
n(logn)
Comme le rapport
tenu vers l’unité lorsque « tend vers l’infini, tandis que
le rapport
“= O +e(r2)) (log r2)2p
croît indéfiniment avec r2, il existe évidemment une infinité de nombres entiers n tels que la valeur r—tp(n) fasse partie des intervalles considères, et par suite nous arrivons à cette conclusion, que l’inégalité
| a J > (1 -- é) p — — — n (log n) ' 4 2 P
est vérifiée pour une infinité de valeurs de l’indice n , quelque petit que soit e, ce qui veut dire que j a J est à croissance irrégulière.
Cette conclusion étant en contradiction avec l’hypothèse admise, notre propo sition est démontrée.
14. Suite des considérations sur les fonctions à croissance régulière. — Démontrons encore le théorème suivant qui sert à préciser beaucoup les propositions que nous venons d’établir relativement aux fonctions à croissance régulière.
Si le module maximum M (r) d’ut, fonction entière de genre p, à partir d’une certaine valeur de r, vérifie les inégalités
T. XXXI
Arp (log r)a B rp (log r)“
A et B étant des constantes positives, on peut trouver deux autres constantes positives A j et B y telles qu'on ait , à partir d'un certain indice n.
[Aj n (log n)~ “] p < ! an < | /?, n (log n)~ a] 0 .
Inversement, si les zéros satisfont à ces dernières conditions, on peut déterminer les nombres A et B de telle sorte que les inégalités précédentes soient vérifiées.
Nous nous contenterons d’indiquer rapidement la démonstration de la première partie de ce théorème, la marche à suivre étant absolument la même qu’au n° 13. La proposition de la page 21 montre d’abord qu’on peut prendre
s étant un nombre positif arbitrairement petit. Il reste donc à démontrer l’existence d’un nombre Bx répondant aux conditions du théorème.
S’il n’existait pas un tel nombre BX) l’inégalité
I a J > |> A» (log »)"“]'
serait vérifiée pour une infinité d’indices n, quelque grand que fût le nombre positif a. Nous allons montrer que cette dernière hypothèse n’est pas compatible avec les données du théorème.
A cet effet, après avoir fixé le nombre déterminons les entiers n0, nx, n2 par les conditions
i a J > [Axn(\ogn)~“\p pour n > n0,
|«J > [^A^i (logni)- “]Pj
n2(\ogn2) a < crnx(\ognx) a < (n2 + 1) (log (»2 + 1)) “,
et posons
*i = (a nx (log nx)~ a] 9 , r = []/ a Ax nx (log nx)~ a] p , r2 — [<r A, nx (log n, )“ a] p ,
d’où il suit
Ernst Ltndelôk.
En écrivant maintenant la fonction donnée sous la forme
„ , . n» nl ««
^)=(,ewn) ii n n
chaque signe II portant sur l’expression E I — , p\ et en suivant fidèlement les rai-
sonnements des pages 28—29, on voit d’abord que, pour x\ = r. le module du
const. r p
premier des quatre produits ci-dessus est inférieur à e , puis on trouve pour
le module du deuxième produit une limite supérieure de la forme
Ca 2p rp(logr)a
et pour le module de chacun des deux derniers produits la limite
C’a rp (log r)a
C et O désignant des constantes positives, qu’on peut fixer de telle sorte que ces limites soient valables pour toute valeur de à condition qu’on prenne nï , et par suite r suffisamment grands.
L’hypothèse dans laquelle nous nous sommes placés conduit donc à cette conclusion que, « étant donné aussi petit qu’on voudra, l’inégalité
erp (log r )
est vérifiée pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes, conclusion qui contredit les données du théorème. L’existence du nombre Bx est donc démontrée.
T. XXXI
