CHAPITRE III

ÉTUDE DES PROPRIÉTÉS D’UNE PONCTION ENTIÈRE DONNÉE I’AR SON DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR.

15. Rechercne d’une limite supérieure des modules des coefficients, étant donnée une limite supérieure du module de la fonction. — Une fonction entière quelconque f (x) peut se mettre sous la forme d'une série suivant les puissances entières et positives de x , convergente pour toutes les valeurs de cette variable. Soit

(33) f (x) = c0 -f c, x + c2x2 4 - b c, xn H -

ce développement; d’après une proposition de Cauchy, les coefficients c jouiront de la propriété

(34) limj/icj = 0,

n = oo

et inversement, tout développement (33) dont les coefficients vérifient cette condition, représentera une fonction entière de x.

Désignons toujours par M ( r ) le maximum du module de la fonction donnée sur le cercle | x\ = r. En vertu d’une propriété fondamentale des fonctions analytiques, ce maximum est supérieur au module d’un terme quelconque du développement (33) pour la même valeur de \x\, de sorte que l'inégalité

est vérifiée pour toutes les valeurs de r et de l'indice n.

C’est là un résultat tout à fait analogue à l’inégalité

! a. a0 • • • a ! rn '

trouvée au n° 9 du premier Chapitre Nous pouvons donc appliquer ici directement les calculs et les raisonnements des n08 9, 11 et 12, et nous arrivons ainsi aux résultats suivants:

Si, à partir d'une certaine valeur de r, M {r) vérifie V inégalité

Ernst Linûelôf.

A étant une constante positive, on aura, quelque petit que soit t ,

dès que n dépassera, une certaine limite.

Et de même, en transcrivant le théorème de la p. 21 :

Si la condition

est vérifiée a partir d'une certaine valeur de r, on aura, quelque petit que soit t,

dès que r dépassera une certaine limite.

Nous avons vu à la lin du n° 3, qu’une fonction entière quelconque de genre

positif e. A l’aide de la première proposition ci-dessus, nous en tirons le résultat suivant, dû à M. Poincaré

Les coefficients du développement taylorien d'une fonction entière quelconque de genre p jouissent de la propriété exprimée par l'égalité

Dans les cas où cette égalité n’a pas lieu, nous pouvons donc affirmer que le développement (33) (sous .la condition (34-)) définit une fonction entière de genre supérieur à p.

16, Problème inverse du précédent, . Méthodes proposées antérieurement. — Exposition d’une méthode élémentaire. — Il s'agit de trouver une limite supérieure du module d’une fonction entière en partant de son développement de Taylor, â cet effet on remplacera d’abord la fonction donnée par une fonction majorante convenablement choisie. Comme le démontre M. Hadakard dans son grand Mémoire, on peut toujours donner à cette dernière fonction la forme

T. XXXI

(f (n) étant une fonction continue et positive, constamment croissante à partir d’une certaine valeur de n et tendant vers l’infini en même temps que n. On est ainsi ramené à chercher une limite supérieure ou une expression asymptotique de la fonction entière F (x) pour les valeurs positives de x.

M. Hadamard a consacré à l’étude de ce problème une partie du Mémoire que nous venons de citer. La méthode intéressante mais assez compliquée qui s’y trouve exposée, conduit à ce résultat, qu’en admettant relativement à (p (n) une hypothèse très générale, la. fonction F(x) vérifie, à partir d’une valeur finie de n, l’inégalité

rttMdx

F(x) < xs e X

ip désignant la fonction inverse de <p et «, comme toujours, un nombre positif donné à l’avance aussi petit que l’on veut.

Bien qu’il soit possible de simplifier et de préciser notablement la méthode que nous venons de rappeler, elle ne saurait cependant fournir de résultats suffisamment exacts. Aussi M. Hadamard est-il bientôt revenu sur cette question1), en esquissant une nouvelle méthode à la fois plus simple et plus exacte que la précédente, méthode qu’il a revêtue d'une forme géométrique très élégante. Pour les applications, cette seconde méthode conduit en somme à la règle suivante:

Qu’on construise d’abord la courbe

(39) y — x \og(p{x),

puis la réciproque de celle-ci par rapport à la parabole x2 = 2y; l’équation de cette seconde courbe étant mise sous la forme y — <i> (x\ l’expression

<P (log x) e

représentera asymptotiquement la fonction F (a;), en ce sens que le rapport des logarithmes de ces deux expressions tendra vers l'unité lorsque x tendra vers V infini"*).

Ce résultat comporte précisément le degré d’exactitude qu’exige la théorie générale qui nous occupe. Pour abréger, nous conviendrons de dire que deux fonctions croissantes sont du même ordre de grandeur , si leurs logarithmes vérifient la condition que nous venons d’énoncer.

l) Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 24, p. 186.

*) En ce dernier point, 1 exposition de M. Hadamard ne nous semble pas entièrement rigoureuse.

Ernst Lindelôf.

Nous devons signaler enfin une méthode très précise exposée par M. Le Roy dans un travail récent *). En ramenant le problème en question au calcul approché d'une intégrale définie, M. Le Roy obtient, dans des cas assez étendus, une expression asymptotique de la fonction F(x) dont le rapport à cette fonction tend vers l’unité lorsque x tend vers l’infini. C’est évidemment un résultat bien plus exact que le précédent.

Nous allons reprendre cette question par une méthode très élémentaire 2), fondée sur une idée simple et naturelle dont on a d’ailleurs tiré parti pour d’autres questions d’Analyse 3). Dans les cas les plus importants où la fonction ( n ) croît d’une manière simple, cette méthode nous conduira d’un coup au résultat de M. Hadamard, et une discussion facile nous permettra d’atteindre le même degré d’approximation que M. Le Roy.

La variable x ayant une valeur fixe quelconque, considérons l’expression

comme fonction de n. Pour les valeurs positives de n cette expression aura un maximum bien déterminé, qui sera évidemment une fonction continue et croissante de x et que nous désignerons par fi (x).

Si l’on admet que la fonction </> (n) a une dérivée continue, et qu’on désigne par a la valeur de n pour laquelle le maximum de l’expression (41) est atteint, on trouve de suite, en différentiant,

a1 cp' (or)

(42) fi(x)^e <p(“) ,

« étant donné en fonction de x par l’équation

or (p' (u)

q Valeurs asymptotiques de certaines sériés procédant suivant les puissances entières et positives d’une variable réelle ( Bulletin des Sciences Mathématiques, Novembre 1900).

2) Le présent travail était déjà sous presse lorsqu'à paru le petit livre de M. Borel, intitulé Leçons sur les sériés à termes positifs. Nous y avons vu que l’auteur, dans son Cours au Collège de France au commencement de l'année 1901, a enseigné précisément la même méthode que nous développons ici, toutefois sans pousser l’approximation aussi loin que nous le ferons.

3) C’est p. ex. cette même idée dont s’est servi J. Bertrand dans son Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral (t. II, p. 243), pour déduire la foi mule de Stirling directement de l'intégrale eulerienne.

T. XXXI

Nous devons supposer, bien entendu, qu’à partir d’une certaine valeur de x le second membre de cette équation va constamment en croissant, de sorte qu’elle détermine bien « comme fonction croissante de x.

Formons maintenant le rapport du terme général Tn du développement (38) au maximum Si(x). On trouve

Tn ;

\(f{n)/ \(fi U

(V («0\ . / x \ [u)! \(f (ri)' ’ \tp (a) I

ou enfin, en tenant compte de l’égalité, (42),

ii (a?)

C’est par l’étude attentive de ce rapport qu’on arrive aux résultats très précis annoncés ci-dessus, comme nous l’expliquerons aux numéros suivants sur des exemples particuliers. Mais si l'on se contente du degré de précision qu’exige la théorie générale exposée dans ce Mémoire, on pourra procéder plus sommairement, en enfermant la fonction F(x) entre deux limites qu’on aperçoit immédiatement.

Comme limite inférieure, il suffira de choisir le terme maximum Ta. du développement (38) pour la valeur considérée de x. L’indice a' de ce terme est évidemment égal à l’un des entiers consécutifs entre lesquels est compris Je nombre «, ou à ce nombre même, s’il est entier. En désignant par T (x) la fonction continue et croissante qui, pour toute valeur de .x, est égale au terme maximum correspondant Ta,, nous avons donc cette première inégalité

Pour trouver une limite supérieure de F(x), déterminons d’abord nx par la condition

te étant un nombre quelconque supérieur à l’unité, ce qui nous donne nt = ip (kx), en désignant toujours par ip la fonction inverse de </?; puis partageons les termes du développement (38) en deux groupes, en écrivant

n' étant l’entier positif qui précède immédiatement le nombre nx. La seconde de ces deux sommes est inférieure à

Eknst Lxndelôf.

AU/ fc-lU/ '*-lU/

expression qui tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. La première somme est

inférieure à n' max.

et par suite à plus forte raison inférieure à ip{kx)S2{x).

D’ailleurs la différence entre cette dernière expression et la somme en question tendra évidemment vers l’infini en même temps que x. Donc on aura, à, partir d’une certaine valeur de x ,

(46) F(x) < \p (kx) SJ(x).

Or, dans les cas où la fonction <f (n) croît d’une manière simple, on constatera immédiatement, que les limites qu’on vient de trouver pour la fonction F(x) sont du même ordre de grandeur, dans le sens indiqué plus haut, et par suite aussi du même ordre que SJ (x), et on arrivera ainsi à ce résultat que F(x) est du même ordre de grandeur que T (x), ou si l’on veut, que F (x) est du même ordre de grandeur que SJ (x).

Il est facile de voir que ce dernier résultat est précisément celui auquel conduit la seconde méthode de M. Hadamard. En effet, l’équation de la polaire d’un point (x = « , y = a log (p («)) de la courbe (39) par rapport à la parabole x2 — 2 y, s’écrit

y — PCX— a log (f’ («) .

L’enveloppe de cette polaire, qui est précisément la courbe réciproque de (39) par rapport à la dite parabole, s'obtient en éliminant a entre 1 équation qu’on vient d’écrire et la suivante, qui s’en déduit en diflérentiant par rapport à a:

X — log </>!(«) -f a

L’équation de la courbe réciproque peut donc s’écrire:

ce étant donné en fonction de x par l’équation qui précède. En remplaçant x par log x et en se reportant aux équations (42) et (43), on voit dès lors que l’expression (40) est identique à SJ (x).

17. Application de la méthode précédente à un exemple particulier. —

Après ces indications sommaires sur la méthode générale, nous allons traiter en détail un exemple particulier important, à savoir la fonction

T. XXXJ.

Mémoire sur lu théorie des fonctions entières.

p ayant une valeur positive quelconque. En conservant la notation du numéro précédent, on aura

(f> (n) ~np, ip(x) = xp,

les formules (42) et (43) donneront

« = S>(x) = eef>,

et l’égalité (44) s’écrira, en posant n = et + p,

Pour une valeur donnée quelconque de p, le second membre de cette dernière égalité tend vers l’unité lorsque a tend vers l’infini. Il s’ensuit que le rapport F (x) : îl (x) tendra vers l’infini-en même temps que x, de sorte qu’on pourra prendre Si (x) au lieu de T [x) comme limite inférieure de F(x). En conservant la limite supérieure (40), on arrive ainsi à cette double inégalité:

d’où l’on tire la formule asymptotique

(48) V f lU

Cette formule renferme le théorème suivant dont nous aurons plus loin à faire usage :

Si les coefficients d’une série entière (33), à partir d'un certain d'entre eux, vérifient l'inégalité

far<c£)v

A étant une constante positive, on aura , quelque petit que soit s,

M{r) < e Aef>r ,

dès que r dépassera une certaine limite.

Cherchons maintenant à préciser la formule (48) et reprenons à cet effet l’équation (47). Comme

Ernst Lindelôf.

on voit d’abord que, pour une valeur donnée de x ou de a, le second membre de cette équation atteint son maximum (=1) pour^ = 0, et qu’il va constamment en décroissant lorsque p croît par valeurs positives ou- décroît par valeurs négatives. D’autre part, en développant l’exposant de e suivant les puissances positives de p, on trouve, pour |i?|<«,

P «+J», nJi . P\ = I I P3 j£ ,

p p ® \ al \-2ap 2-3 a2 p 3-4 a3 p

2 pa { 3 a 6 \ a) f

Soit maintenant r un nombre positif compris entre * et 1, et partageons les

termes de l’expression

Si (x) Si (x)

en quatre groupes, caractérisés resp. par les inégalités suivantes:

n O a — a' ; a — a <) n <C « + « ; a + a' < ^ < i/' (feie); n if) ( Jcx ),

étant un nombre quelconque supérieur à l’unité.

Il suit d’abord du raisonnement du n° 16, que la somme des termes du dernier groupe (même si on la multiplie par Si (.r)) tendra vers zéro lorsque x tend vers l’infini.

Les termes du premier groupe sont tous inférieurs à la valeur que prend le second membre de (47) pour p — — a , valeur qui peut s’écrire, d’après (49),

1 + f (or) 0- i - s - «

Comme 2t — 1 >0, d’après l’hypothèse, et comme le nombre des termes en question est inférieur à « — «r, on voit que leur somme tend vers zéro lorsque a ou x tend vers l’infini.

Par un raisonnement tout à fait analogue, on s’assure que la somme des termes du troisième groupe s’annule pour x—oo.

Reste le second groupe. D’après l’équation (49), l’un quelconque de ses termes satisfait aux inégalités

2 pa

- Si{x)^

2 pa

OÙ

H - , p étant toujours donné par l’égalité n = a +

et leur somme restera donc comprise entre les limites

T. XXXI

Mémoire sur la théorie des fondions entières.

Ve *f>a

D'autre part, en vertu d’uri théorème de Cauchy que nous avons eu déjà l’occasion de rappeler, ces dernières sommes sont équivalentes aux intégrales

p2 o + P) e dp et

2o~" dp,

à des quantités près dont la valeur numérique restera inférieure à un nombre fixe, quel que soit a. Or, en posant

p = Vv+,.-t resp.

et en tenant compte de l’égalité

e 1 dt = Ÿ ut ,

on voit que ces intégrales peuvent se mettre toutes les deux sous la forme

Il en sera donc de même de la somme des termes du second groupe considéré ci-dessus, de sorte que nous arrivons finalement à la formule

qui fournit évidemment un résultat beaucoup plus précis que la formule (48).

18. Suite des applications. — Après avoir tant insisté sur l’exemple qui précède, nous pourrons passer plus rapidement sur les autres applications que nous aurons à faire de la méthode du n° 16.

Faisons d’abord dans le développement (38)

<f (n) = [n (log nf\ p ,

p étant un nombre positif et o un nombre réel quelconque. (43) deviendront

SJ (x) — e

X = (fi (a) e p

Les égalités (42) et

Ernst Lindelôf.

Dans une première approximation, on en tire

1 + f (x) xp epn (loga-)*7’.

Si (pc) = e ePa+1 <!o« x)° ;

en poussant l’approximation plus loin, on pourrait préciser les facteurs l + f(a:)qui figurent dans ces expressions, mais nous ne nous y arrêterons pas.

On constate d’ailleurs immédiatement, comme dans l’exemple précédent, que la fonction donnée est du même ordre de grandeur que il(x)-, en désignant par n0 un entier quelconque supérieur à l’unité, on aura donc cette formule asymptotique:

il 1 4- £ ( Z }

xP

(log x)rr '

L’étude du rapport (44) permet de préciser notablement ce résultat. En effet, on trouve par un calcul facile

(n = u + jp) ,

la quantité p tendant uniformément- vers zéro pour \p | <«r (r < 1), lorsque a augmente indéfiniment. En répétant le raisonnement du numéro précédent, on arrive donc à la formule

[n (log rif)

= (1 + * (&’)) V 2 st p a il (x) = (1 + « (#))

x 2 (log a?)

il (x) étant donné en fonction de x par les équations (50).

Énonçons encore le théorème suivant, auquel on arrive par une généralisation facile de îa formule (51):

Si les coefficients d'une série entière (33) vérifient l'inégalité

VK\<

[A n (log n)a‘ • • • (log (y,n) “*']/’ à partir d’un certain indice n, on aura, quelque petit que soit t,

(53) M (r) < eAcf

dès que r dépassera une certaine limite ,

~qn rP (log r) ‘ • • (l°g v t)

■M r\— av

Soit maintenant la fonction

T. XXXI

qui n’est pas de genre fini. Les équations (42) et (43) s’écrivent

Si (x) — e '7i°k “ , x = (log a)!' ep]0*u,

d’où l’on tire dans une première approximation

1 + g (*) r— p.xP

Sî{x) — e ep

Cette même expression pourra encore servir à représenter la fonction donnée. L’étude du quotient (44) conduirait à la formule plus précise

(dlrôl) “ (1 + £ <*» X*eT *' 11 te) '

Comme dernier exemple, considérons la fonction

CO

q étant un nombre positif inférieur à l’unité. C’est une fonction entière dont l’ordre réel est égal à 0. On trouve de suite, en posant ^ ='h,

log a;

2 log g, ’

(log j)a

Si(x) = ei

et l’équation (44) prend la forme suivante très simple:

__ ^(n — if

En désignant par n’ la partie entière du nombre a, et en posant « = n’ -+• * (O < r < 1) , on a donc identiquement

JC (log J)1 JO

(64) £ g"’ X* - e ïfrJi V g<- -

Lorsque x tend vers l’infini, la somme figurant au second membre de (54) tendra vers