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üîw-rl'-
Désignons par M le maximum et par m le minimum de cette expression, considérée comme fonction de r. On aura d’ailleurs
M — 1 -f- 2 ^ q et m^ay.gl f 2 ^ ,
(la seconde égalité au moins tant que q sera inférieur à une certaine limite). fl:o 1.
Ernst Lindklôf.
Cela posé, l’équation (54) montre qu’on aura, quelque petit que soit le nombre positif s, d’une part les inégalités
pour toutes les valeurs positives de x, et
(log x)1
CO
pour des valeurs x dépassant toute limite donnée, et d’autre part
(log g)a
'S q" xn q> (j n — 4) e 4 ,0s
à partir d’une certaine valeur de x, et
V* q"1 x < mcilos
pour des valeurs # dépassant toute quantité donnée.
On peut donc dire, à un certain point de vue, qu’à l’infini la fonction considérée oscille entre deux fonctions à croissance régulière. De telles oscillations se présentent toutes les fois que la fonction <p (n) croit plus vite qu’une certaine expression, et elles deviennent plus sensibles à mesure que le degré de croissance de (p (n) augmente.
En terminant ces applications, nous ferons remarquer qu’il est permis de supprimer, dans les séries considérées ci-dessus, des termes suivant une loi comportant beaucoup d’arbitraire, sans que les formules asymptotiques que nous avons établies cessent d’avoir lieu. Nous nous contenterons de citer comme exemple l'égalité
qui se déduit immédiatement des calculs de la p. 42.
19. Relation entre l’ordre de grandeur du module maximum d’une fonction entière et l’ordre de grandeur de ses coefficients. — Soit
f (x) = e0 + x -f c9i x'z~\ - (- cn x” H -
le développement de Taylor d’une fonction entière, et M(r) le maximum de son module sur le cercle \x\=r. Pour indiquer l’ordre de grandeur des coefficients e, nous nous servirons des définitions suivantes:
Nous dirons que V]c„\ est d'ordre n p, si l’on a, quelque petit que soit t.
V\Cn\ < n~9 + £
à partir d’un certain indice n, et en même temps
pour une infinité do valeurs n.
De même, nous dirons que ]/\ c7| est d'ordre [n (logn)17' • • • (log(y> w)'’1' | , si, quel¬
que petit que soit s, l’inégalité
V\ c-n | < \n (log w)“‘ • • • (log<v) ’’
est vérifiée à partir d’une certaine valeur de n, et l’inégalité
V\ cn \ > [n (log rif1 • • • (log(y) n)°'J + £) r‘ pour une infinité d’indices n.
Cela posé, les propositions établies pp. 34, 39 et 42, nous permettent d’énoncer les résultats suivants en tenant compte des définitions données p. 26:
rp . ", - i
Si M(r) est d’ordre e , V expression y\c„ | est d’ordre n p, et inversement.
, rp (log r)®1 • • • (logb',r)“y . “
Si M(r ) est d'ordre e , V expression y c„ est d’ordre
[w(logw)a‘ • • • (log(v) wr“1'] p , et inversement.
Mais nous pouvons préciser davantage la correspondance qui existe entre
l’ordre de grandeur de M(r) et celui de V\e„:. En rapprochant les inégalités (35) et (36) des inégalités (52) et (53), nous arrivons en effet à la conclusion suivante:
Si les inégalités
et
(A -h e) rp (log rfl • • • (log(v) r)°^
(A - s) rp (log r)“l • • • (log(l,) r)a»
où A désigne une constante positive, sont vérifiées, quelque petit que soit s, la première à partir d’une valeur finie de r, et la seconde pour une infinité de valeurs r dépassant toute quantité donnée , on aura
ÿ\ cn\ < (1 + «) [A e n ~ a‘) p [n (log n)~ “’ • • • (log1 J) n)~ *v ] 9
à partir d’une valeur finie de n, et
V\ c* | > (1 — t) {Aepx~ai)p [»*(log n)~ • Uog(y)M)- "•'] 9
Ernst Lindelôf.
pour une infinité d’indices n, quelque petit qu on donne c; la proposition réciproque a également lieu.
Il existe donc une correspondance très précise entre la grandeur du module maximum M(r) d’une fonction entière et la grandeur de ses coefficients. Nous verrons dans la seconde partie de ce Mémoire, en cherchant à préciser, dans le sens indiqué par la dernière proposition, la relation qui lie l’ordre de grandeur de M (r) à la densité des zéros de la fonction, combien ce problème est a la fois plus difficile et plus intéressant que celui que nous venons de résoudre.
20. Sur la détermination du genre d’une fonction entière donnée par son développement de Taylor. — Toute fonction entière de genre fini ayant un ordre apparent déterminé, nous savons, d'après la première proposition établie à la page précédente, que la racine rihne du module du nme coefficient dans le développement de Taylor d’une telle fonction aura également un ordre de grandeur déterminé, mesuré par une certaine puissance négative de n.
Soit inversement une série entière (56) où l’ordre de Y\cu\ est égal an p , p étant un nombre positif ou nul, et cherchons a déterminer, si possible, le genre et l’ordre réel de la fonction entière représentée par cette série. Nous aurons à. distinguer deux cas:
i:o Le nombre p n’est pas entier. — Dans ce cas la réponse est immédiate. En
rp
effet, d’apres n° 19, M(r) est d’ordre e , et par suite nous pouvons conclure du théorème établi p. 20, que l’ordre réel de la fonction (56) est égal a p et son genre o égal au nombre entier immédiatement inférieur à p.
2:o p est un entier positif (si p — 0, le genre et l’ordre réel de la fonction (56) sont évidemment tous les deux égaux à zéro). — Le théorème que nous venons de citer montre qu’il y a dans ce cas indétermination relativement au genre p, qui peut être égal à p ou à p — l. Si p~p — 1, ia dernière proposition du n° 15 nous T "
donne lim nfJ y\ c„| — 0, lorsque n tend vers l’infini. Nous en tirons cette conclusion:
Si Y \ c„ \ est d’ordre n p, p étant un entier positif, et si np Y\cf\ ne tend pas vers zéro lorsque n tend vers l'infini, le genre de la fonction (56) est certainement égal a p .
C’est là le seul résultat relatif au cas où p est entier, qu’on ait obtenu jusqu’à présent. Le théorème du n° 6 nous permettra d’aller plus loin en démontrant cette nouvelle proposition (%,%,••■ désignent les zéros successifs de la fonction (50)):
Si Y\c„\ est d’ordre n p , et si en outre la condition
T. XXXI
il ni nP VlCni — 0
est vérifiée , le genre de la fonction (56) est égal à p— 1 toutes les fois que la série
| | converge , ce qui aura lieu par exemple dans les cas où Von peut trouver un
fi 1
entier v et un nombre a > 1 tels qiion ait , pour n suffisamment grand,
(58) V\c„\ < [nlogw • • • log'" ‘'n (log(,,,n)Q] p.
La démonstration est immédiate. En effet, puisque la série ^ posée convergente, nous pouvons mettre la fonction donnée sous la forme
-.««fl
est sup-
G(x) étant une fonction entière. Or, le théorème du n° 6 nous apprend que, « étant donné aussi petit qu’on voudra, il existe une infinité de cercles ayant l’origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels est vérifiée l’inégalité
et d’autre part le théorème de la p. 39 nous permet de conclure de l’égalité (57) qu’on a
dès que r dépassera une certaine limite. Sur tous ceux des cercles envisagés dont les rayons dépasseront cette même limite, on aura donc
ou bien
