partie réelle de G(x) < erp

et par suite, d’après n° 10, nous pouvons affirmer que G (x) se réduit à un polynôme de degré inférieur ou égal à p — 1 , de sorte que le genre de la fonction f (. x ) est bien égal à p — 1 .

La seconde partie de la proposition énoncée ci-dessus est une conséquence immédiate des. théorèmes établis p. 42 et p. 21. En effet, en vertu de l’inégalité (58), le premier de ces théorèmes nous donne

, r Vtx r p (loS r)~ 1 • ■ • (log(v - 11 r)~ \logW r)~ “

M(r) < eP

Ernst Lindelôf.

à partir d’une certaine valeur de r, et nous pouvons donc conclure du second théorème que les zéros de la fonction (56) vérifient l’inégalité

| a J > (1 — «) [nlogn • • • log(1/ llw(log(l''n)'z]/>

à partir d'un certain indice n. Donc, l’inégalité (58) entraîne bien la convergence

Le théorème que nous venons de démontrer pourrait facilement suggérer l’idée que la convergence de la série

jointe à l’hypothèse (57) fournit une condition suffisante, ou même la condition nécessaire et suffisante pour que le genre de la fonction entière (56) ne dépasse pas p — 1 1). En ce qui concerne la première supposition, nous pouvons dire seulement qu’il paraît peu probable quelle soit exacte, pour des raisons que nous expliquerons plus loin. Mais ce qui est certain, et ce que nous démontrerons dans la seconde partie de ce Mémoire, c’est qu’il existe des fonctions entières de genre p — 1 telles que la série (59) diverge. Le problème de la détermination du genre d’une fonction entière donnée par son développement de Taylor est donc d’une difficulté beaucoup plus grande qu’on ne se l’est imaginé jusqu’à présent.

') Cf. page 203 du Mémoire de M. Hadamakd.

T. XXXI