EXPRESSIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINS PRODUITS INFINIS

21. Représentation de la dérivée logarithmique au moyen d’une intégrale définie. - Soit le produit canonique de genre p

où an est donné par l’expression

an = a (n) = [A n (log »)“] 0 ,

^4, et « désignant des nombres réels, dont les deux premiers sont positifs. Le nombre p est d’ailleurs assujetti aux conditions p < p <p + 1 . Lorsque p n’est pas entier, le nombre « pourra avoir une valeur quelconque. On aura, au contraire,

«>1 si p=jp-\ril et «< 1 si p—p, puisque les séries ^ (-- ) et ^ ~ )

doivent être respectivement convergente et divergente. Quant à l’entier w0, on le suppose suffisamment grand pour que la fonction a (n) soit continue et croissante pour n>n0.

Dans les raisonnements qui suivent, on admettra constamment que l’argument de la variable x = rei(P garde une valeur constante quelconque comprise entre — n et -f 5r, le module r pouvant au contraire varier comme on le voudra. Conformément

Ernst Lin jdh lof.

■à la notation de la p. 20, on désignera par s{x) toute fonction continue de x qui tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini avec un argument déterminé.

Cela posé, afin d’arriver à une expression asymptotique du produit (1), nous allons considérer sa dérivée logarithmique, qui s’écrit-

f'W i)? xv y 1 .

On constate immédiatement que les parties réelle et imaginaire de l’expression placée sous le signe 1 sont des fonctions continues de n, tendant vers zéro lorsque n tend vers l’infini, et n’ayant qu’un nombre fini de maxima et de minima qui, par rapport à r, sont tous des quantités d’ordre — . On en conclut, en vertu d’un théorème

dont nous avons fait usage déjà plusieurs fois, que la somme en question peut se mettre sous la forme:

•tu

[a (w)jP [x + « (n)]

désignant ici et dans la suite une quantité d’ordre L’emploi de la formule sommatoire d’EuiÆR permettrait d’ailleurs de préciser ce terme j^J, mais nous n’en

aurons pas besoin.

Si maintenant nous posons

d’où il suit, en différentiant,

t — a (n) (iog n)“] p ,

{ïogty" dt,

l’intégrale ci-dessus devient

-4nf 0 + «W) tp-p-x(\ogty

■a. dt

où t0 = a(n0). et par suite l’expression de la dérivée logarithmique du produit donné se présentera sous la forme

désignant une quantité d’ordre rp~l.

■ T XXXI

22. Application du théorème de Cauchy. — Nous sommes donc ramenés à l’étude des intégrales détinies de la forme

oïl — 1 < ,w< 0 , et, où l’on aura v< — 1 si //=•(), et v> — \ si n^- - J, v pouvant avoir, au contraire, une valeur réelle quelconque lorsque p n’est pas entier. Quant a la limite inférieure a, c’est un nombre positif quelconque, que nous supposerons seulement supérieur à l’unité.

Ayant fixé pour la variable x~ reî(P une valeur telle que — *r<; y < n. r^>a, traçons de l’origine comme centre deux cercles, l’un CB de rayon a , l’autre Cu de rayon R !>/•; puis découpons l’anneau circulaire compris entre ces cercles du point x — a au point x--=R, suivant l’axe réel. Nous désignerons pur T le domaine simplement, connexe ainsi obtenu, et par S son contour.

Comme la fonction t " (iog tf est tiolomorphe pour tout point du domaine T, et comme d’autre part le point — x est intérieur à ce même domaine, le théorème de Cauchy nous permet d’écrire

(4) jt^doglfj— ~x = 23ti(— xf (Iog (—*))".

l’intégrale étant prise le long du contour S dans le sens direct.

Dans cette égalité, on choisira pour les logarithmes et pour les puissances leurs déterminations principales , c’est à dire celles qui prennent des valeurs réelles sur l’axe réel positif.

L’angle étant compris entre — n et -f n, comme il été dit, l’argument de la quantité — x sera égal à if -f .-r, de sorte que le second membre de l’égalité ci-dessus s’écrit

2 7i le /”r ’ x11 (Iog x -f- st if .

L’intégrale figurant au premier membre de l’égalité (4) se compose des parties suivantes:

1° l’intégrale relative au cercle

Ca7 qui

donne un terme

2° l’intégrale relative au cercle G comme la fonction t^dogtf s’annule à l’infini, en vertu des hypothèses admises relativement aux nombres p et v, cette intégrale tend vers zéro lorsque R tend vers l’infini;

3° les intégrales relatives à chacun des deux bords de la coupure (a, R)\ la somme de ces intégrales est égale à

Ernst Lindelôf.

f t'" {(log tf ~e2K‘ (log t + 2 x if ; ,

expression qui, d'après ce qu’on vient de dire, tendra nécessairement vers une limite finie et déterminée lorsque B tend vers l’infini.

On voit donc en somme que, pour lim B = oo , l’égalité (4) prend la forme suivante:

(5) j t " {(log if - e2 K ’ 'L (log t + 2 az if ) = 2 (log x + *îf 4 [y] •

23. Discussion de l’égalité fournie par le théorème de Cauchy. -- Dans la discussion de l’égalité (5), nous aurons à distinguer trois cas:

1°. — l</w<0. Le premier membre de (5) s’écrit

a -<?•"!> J (i+.w^oogo-^L

Comme le module de cette expression, d’après l’égalité dont il s'agit, est d’ordre supérieur à — , on trouve facilement (en observant qu’on a ; , < — 1

h r 7 \ I t + x I COS ■?- f + r

pour x — rei(Pj, que la dernière intégrale peut se mettre sous la forme

(x)) f i/l (logtf ,fdt

de sorte que, réduction faite, on obtient la formule

J r (log trt + i ! = 1 + e sln ««g *)'•

2° ^ = 0. Le premier membre de l’égalité (5), laquelle est valable dès que v < 0, peut se mettre sous la forme

i dt

— 2 xivj (1 + i (t)) (log t)

En changeant v en 1 — v, on obtient donc la formule

- = - 2 JT i V ( 1 4 £ (x)) j (log tf - 1 T

(log tf ï x v — i (log ac)’' 1 ’

qui est applicable lorsque v > i .

3° fi = — i . En développant le premier membre de (5), et en changeant v en v 4- 1 , on trouve

T. XXXL

f (log t)v

formule valable pour v > — 1 .

1 + e (#) dog.x)1' + 1 v 4-1 x

Le seul cas qu’il nous reste encore à traiter est donc celui où p = v — — 1 .

L’intégrale (3) s'écrit alors

Pour évaluer cette expression, nous partirons de la formule

‘log log t dt. .log log (- ./■)