II

Ho

in log n)'1

Or la ramène formule (a) en la variable x ,

à la forme 11) en posant — x% —y, et on pourra alors appliquer la y faisant A p~-0: P — \' trouve ainsi, en réintégrant

in\o

■ra\ __

og w)7 ~

logx

le signe — ayant lieu au-dessus, et le signe -f au dessous de l'axe réel. Cette expression met en évidence que la fonction entière (10), qui est de genre un, est bien d'ordre er (voir p. 19), comme l’a démontré M. Poincaré.

') Je m'aperçois qu’on peut obtenir les formules (6), (c) et t d j par une voie plus élémentaire, que je veux indiquer rapidement.

Soit p. ex. /> — !>■ J’observe d'abord qu’on peut trouver une constante positive A telle qu’on ait

pour toute valeur x dont l’argument tp est compris entre - (,t — >j) et 4- (ir — rj), r/ étant un nombre

positif donné aussi petit qu’on le voudra C'est ce qu’on trouve par un raisonnement analogue

à celui du n" 2.

Cela posé, déterminons l’entier n‘ par la condition

[J n’ (log »')“]'• < 'y â [J (»' t D (log (»' + l))“]p .

k désignant un nombre positif dont nous disposerons ultérieurement, et écrivons la fonction donnée (1) sous la ferme

f(x§U£(- X ,p) fl e(-~ ,p).

n{> ' tlft ' -f. ] ' an *

L’inégalité (v) nous donne d'abord (a le calcul de la p. 23):

(fi) i log iî E ( -, J , p) : < K i <r y (log : x 1 r a .

«'4-3 v <ln /l

K étant une quantité positive indépendante de x qui tend vers T infini en même temps que k.

D’autre part, comme ! i è k pour w g- n', ou aura, pour un facteur quelconque du premier

produit ci-dessus,

T. XXXI

25. Généralisations diverses. — Les formules que nous venons d’établir sont susceptibles d’être généralisées et précisées de différentes manières. On voit d’abord immédiatement qu’on peut appliquer les considérations qui précédent aux produits (1) dont les zéros sont donnés par une expression quelconque de la forme

a„ — [An (iog nf' (log 21 nŸ' • • • (log^ w)“v ]p .

Lorsque p < p < p -f i, on obtient, par exemple

Iog f(x) - (•

- Y - =, Xp (log X) (log'2' X) "' ■ ■ ■ (log(v> x)

Apa sin J.* ( p — p)\

Mais voici une remarque plus importante. Nous avons déduit ies formules en question de l’égalité (5), en y réduisant les deux membres à leurs parties principales. Développons maintenant, dans cette même égalité, les expressions (log t -f 2 n if et (log x -f nif resp. suivant les puissances descendantes de log / et de log#; en divisant par 2 xie,l1ti , puis en égalant des deux côtés les termes dont les coefficients sont réels, nous obtenons ainsi, dans le cas ou p n’est pas entier, une équation dont les premiers termes s’écrivent

sm (ji + 1) n C .* ,, ,u dt l ,,t

— ■ - I r (log t) r- - v cos p 3t I V (log t)

-f v (v — l) n sin p js I t 11 (log t) ~ 2 yj— 4- ./ ~ t x

dt

= xfl (log x)v 1