log
v (v — 1) (p — 2) (v — 3) îî"1 1-2 -3 -4 (log xi4
d’où il suit
Or on a
log il e( -- ,p) =
?/0 v un J
dp 1 + *(&) ~ p
/ 1 i + f (n') r dn l O.,,) A J y (Iqu- fl'P
*o fio ' °
et cette dernière expression peut se mettre sous la forme
n (iog *)
OU
— log logr.
suivant qu'on a a < ) , ou a = 1 .
En prenant d’abord le nombre k très grand, de sorte que, dans l’égalité (y), la quantit é r (k) soit très petite, et en donnant ensuite à j x une valeur assez grande pour que 1 expression (</} soit très petite par rapport au module de l’expression (y), on voit bien qu’on retrouve les formules (c) et (d) du texte.
Ernst Lindelôf.
En remplaçant clans cette égalité le nombre v successivement par v — 1, v — 2, • • • , v — n , et en résolvant toutes ces équations par rapport à l’intégrale qui figure au premier terme de l’équation écrite ci-dessus, nous trouvons pour cette intégrale un développement asymptotique de la forme
(11) J (log t)v
où Al , A2 , • • •
St
— ( lo^icV ci
t-\-x sin {p 4- 1) st ' ; ) ' log x 1 (log ce)2
désignent des constantes faciles à calculer. On aura p. ex
+---+s“ogrf<1+eW>f’
Ay = — vst cotg pst , A.2
st'2- (1 -|- 2 cotg2 pst) , • • •
Dans cette formule l’entier n peut être pris aussi grand qu’on le voudra, et le symbole « (a1) a la signification indiquée p. 50.
A l’aide de la formule (11) et des formules analogues qu’on obtient dans les cas où p- est égal à 0 ou à — 1, on peut évidemment préciser beaucoup les résultats du n° 24. Soit comme exemple la fonction suivante de genre 0:
où
a„ = [A n (log n A p log log n + log B)a 1 11 (p < 1) .
En remplaçant d’abord la dérivée logarithmique par une intégrale définie (par le même calcul qu’au n° 21, mais en poussant l’approximation un peu plus loin), puis en appliquant la formule (11), on trouve pour cette fonction la formule asymptotique:
log f(x)
St
A p" sin st p (log x)a 1
xp L , K log log x L{ 1 + * ( xi ) ) dny ,7-i “ \ log X log X f ’
log.
ou
K = -- (« — /*), L = — |<a — P) log p + st p cotg stp -p log
i (x) étant de l’ordre de •
log x
26. Expressions asymptotiques de certaines intégrales définies. — Nous aurons besoin dans la suite d’une expression asymptotique de l’intégrale
Ü2) jVflog*)' —
pour les grandes valeurs positives de R , les nombres p et v étant assujettis aux conditions énoncées au début du n° 22. A cet effet, nous partirons de l’égalité suivante, qu’on vérifie de suite en différent iant:
T. XXXI
fr + *(!ogOvJ# H1 ft
J (*+,/+» aî A + A + îJ
(log 0
