BERLIN

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Note préliminaire.

Al la fin d'un petit mémoire sur la convergence de la série du binôme, inséré dans le second cabiet du cinquième tome du journal des mathématiques que je publie, où j'ai appliqué la méthode de d'Alembert à la série du binôme pour en juger la convergence, fai promis (pag. 196.) de traiter cet objet encore d'une autre manière directe, en opérant immédiatement sur Fexpression générale et identique du reste de la série, par une certaine méthode générale d*évahier les restes des séries, développées suivant les différences au lieu des différmitieHes; méthode qui s'applique au théorème général de Taylor d'une manière semblable A celle qu'a donnée Mr. Lag range pour l'évaluation des restes delà série particulière de Taytor et qui a été perfectionnée par Mr« Ampère*

Je veux m'acquitter ici de cette promesse. Mais comme il étoit nécessaire de présenter d'abord les dévéloppemens et théorèmes généraux mêmes dont on voulait faire mie application particulière, comme, aussi, la théorie des puissances elle même étoit presque inséparable de l'objet qu'on alloit traiter, et que d'un autre côté il se présentait ainsi une bonne occasion et un moyen facile de faire encore d'autres applications des principes fondamentaux, une fois qu'ils seraient établis, ce mémoire, destiné origi^ nairement n un objet très spécial, a reçu une beaucoup plus grande étendue, et enrf)rasse maintenant, comme applications des principes généraux qu'il présente, presque toute la théorie des puissances, des logarithmes, des quantités exponenti^es et fonctions angulaires, suivie des points principaux de la théorie des factorielles et facultés analytiques $ tout cela sui* vant les vues qui semblent être propres à ces objets.

Quant a la théorie des puissances, des logarithme^ et fonctions angulaires, on pourra être étonné, de me voir reprendre des objets traités tant de fois; mais on trouvera dans le mémoire même les raisons qui m'y

2 Note priHnUnaire,

ont engagé. On remarquera qu'effectivement la théorie ordinaire est encore très imparfisdte tant pour la rigueur des démonstrations que pour la conséquence^ et qu'elle n'est pas exen^te de lacunes ^ imperfections qui proTiennent^ à ce qu'il semble^ de la séparation et du morcellement d'objets qui ont une seule et même source, de l'omission de points essentiels, par exemple, de la recherche de la convergence des séries auxquelles on parvient, et de l'usage de procéder des cas particuliers aux cas généraux, au lieu de suivre la voie inverse. Daprcs ces motifs il ne semble pas inutile de reprendre ces objets, d'autant moins, qu'ils entrent dans les élémens, qui surtout doivent être bien établis et n'ofirir jamais de lacunes ni de démonstrations foibles.

U est vrai que si dans le mémoire présent on excepte quelques théorèmes et éclaircissemens généraux, et quelques théorèmes de la théorie des facultés analytiques, les résultats nouveaux qu'il contient ne sont qu'en très petit nombre; mais on y trouvera plusieurs vues nouvelles, ainsi que la pratique d'une méthode, qui seule me semble être propre a l'analyse et pour ainsi dire lui . appartenir comme innée. Ce ne sont donc pas les résultats, mais c'est surtout la méthode, a laquelle je prie le lecteur de vouloir bien accorder son attention. On en vwra les effets, et l'on trouvera que par son secours les difficultés que laisse la méthode ordinaire, peuvent effectivement être vaincues et les lacunes remplies.

Depuis un nombre d'années je prépare un traité d'analyse qui doit embrasser cette science dans toute son étendue et dans son état actuel. Un tel ouvrage me semble devoir devenir très utile à la science, et je le crois même d'une nécessité urgente; car la science analytique s'est, surtout dans ce demiw tems, tellement étendue et ramifiée, qu'il n'est presque plus possible a celui qui l'étudié d'en embrasser toutes les parties comme formant un ensemble. Le problème que je me suis proposé présente sans doute de très grandes di£Scultés. La seule collection des objeots nombreux qu'il embrasse en forme la moindre partie. H s'agit surtout du système, et pour cela il ne suffit pas de ranger les objets dans un ordre tel que les théorèmes et propositkms ne se rapportent jamais qu'aux théorèmes et propositions qui précèdent: il s'agit de suivre la liaison intime et naturelle des propositions jusqu'à leur origine, de rapproclier les objets qui ont la même soivce, et de fiiire voir, par la doctrine elle même, son onanisme et son développement naturel. Il s'agit de cette méthode non-^