I. Dèjiiniion et propriétés des puissances. J

arbitraire^ qui convient à Vohjety et cette méthode est le point le plus dffîcile dans une science^ et en même tems le plus essentiel. Les combinaisons de vérités connues, même pour en découvrir de nouvelles^ ne forment pour ainsi dire que la pratique delà science; la méthode en est Tesprit. Laseuie force d'invention a plus ou moins besoin du secours du hasard^ pour arriver à de nouvelles idées heureuses ^ qui puissent agrandir le domaine de l'analyse. La véritable méthode, savoir celle qui se tire de l'essence et de l'orga-nisme de la science elle même, est le moyen direct et sûr d'en franchir les bornes. Je sens donc fort bien l'immense diflîculté de ma tâche, et je n oublie pas que je puis être accusé de témérité, d'oser entreprendre un tel ouvrage. Mais je serai content, si mon essai contribuera au moins à encourager d'autres personnes, 'à suppléer ce que j'aurai peut être mani» que ou négligé.

J'ai parlé de mon entreprise parceque le mémoire présent peut être aussi regardé comme un échantillon du traité que j'ai en vue. C'est pourquoi je le présente sous la forme d'un cours élémentaire, plutôt que sous celle d'un mémoire destiné aux personnes consommées dans la science: H fera surtout voir par un exemple la méthode que je me propose de suivre.

J'entre en matière»

L Définition et propriétés des puissances.

On ne peut pas dire généralement qu'une puissance p. e. u^ est xm produit de y iacteurs égaux A u. Cette définition cesse déjà d'être bonne si j est une fraction, parcequ'on ne peut pas multiplier le nombre u p. e. 3^ ou 1^ fois par lui même. Il est vrai que, dans ce cas, on peut dire que les puissances sont les radnes du nombre u p. e. que u^ est le nombre qui, multiplié trois fois par lui même, donne Um Mais cette dernière définition n'est pas exacte ^i l'exposant y est un nombre irrationnel, puisqu'il n'existe pas de fraction qui puisse exprimer la valeur irrationndle de l'expôsmit. Ici on pourroit Picore recourir à l'approximation, mais elle n'offiriroit pas d'idée daire et précise de l'objet; et

4 ^ 2. fomu 1. et 2. L Définition et

A enfin rexposant est une quantité imaginaire^ Ti^proximation ne réus* nt pas [non plus.

Donc en allant des cas particruKers aux cas généraux , on ne parvient pas à quel€|ue définition générale et précise des puissances bonne pour les élémens#

n est plus naturel 9 et même il n'y a id^ pas plus que dans plusieurs cas de l'analyse, d^autre moyen que de supposer hypothétîquement les propriétés fondamentales d'une fonction encore inconnue , pour en tirer ses autres propriétés, son dé\[eIoppement en séries et son rapport avec d^autres quantités. Si en premier lieu on trouve que les résultats tirés dés propriétés supposées ne sont pas en contradiction entre eux, on sera sûr que la fonction supposée existe réellement; et si, en second lieu, Iqs résultats comddent dans les cas particuliers avec les expressions des puissances dans les mêmes cas, rien n'empêche de donner le nom de puissance a la fonction supposée. Le doute que la fonction supposée soit véritablement et précisément ce qu'on a coutume d'appeler puissance, n^est qu'apparent, car, en partant des cas particuliers pour pror; céder à la découverte des propriétés générales des puissances, on ne trouve pas ces propriétés, on ne fiout également que les supposer pas a pas. On fait au fond la même chose que nous faisons ici, mais avec un détour inutile et par une voie incertaine et exposée aux erreurs. La marche vraiment analytique, qui mène des expressions générales aux résultats particuliers, est la voie naturelle et sûre; tandis que la voie inverse n'est qu'une sorte d'induction, dont les résultats doiv^it être nécessairement plus ou moins incertains.

Supposons donc une fonction encore inconnue /(», y) des deux quantités £< et j, qui ait les propriétés: que si y varie d'une quantité arbitraire t^ les deux équations

2. f{f{Pyy\1c)^f{u,yk) ont lieu généralemeirt et pour toutes les valeurs de u^y et k.

Au lieu de la Botation peu commode de la dépendance de la quantité inconnue des élémens i/ et y au moyen de la lettre / nous pourrons

propriétés des puissances, • §• 3. form. 3. — 5. 5

Texprimer ainsi par la seule position des ëlémens eè nous ëorirons