li' su

Biais ces équations expriment les propriétés caractéristiques des puissances, donc les puissances sont un eas particulier des iscultés, savoir cdui oà des trois éiémens n, x^ y celui x est zéro.

18 §• ^4. fomu 44* il. D^uêMoh «l propriétés

n. Soît dans la preimère ëquatioo fcmdamentale (38.)/ssl et kss 1, elle donne (^>+jp)*=(i/,+^)'(«^+«>+^)** Soît en second lieu ^=£2^ A:s=l jhms h même équation^ on aura

et en verta de oe qu'on vient de trouver

(u,+xr = (u,+xr(u+x,+xy(u+2x,+xy.

En continuant on trouve

(u, + xr^(u,+xy(u+x,+xy(u + 2x, + x)\u + 3x,+xy, et gënëralement

(u,+xr^iu,+xy(u + x,+xy(u+2x,+xy....(a + (m—i)x, + xy, m étant un nombre entier. Mais en vertu de la troisième équation fondamentale on a (f/9+jr)'s= ir^ (i^+a?,+flp)*=3ii+ar; (tt+2jF,+jp)*=tt+2jp... {u^(m — l)x,'\'xY zsz u + (m — i)x. Donc on a

44^ iu, + xy=:u(u+x)(u+2xXu^3x)....iu + (m—l)x)

pour le cas où m est un nombre entier.

Gela &it voir que dans les cas ou des trois élëmens u^ x, y celui j est un nombre entier^ les facultés analytiques seront des produits de facteurs ëquidifférents» Oi leur a donne dans ce cas le nom de factorielles.

ni, A cause de Panalo^ des facuhéi avec les puissances, et de leur accord dans un cas particulier, nous donnerons à leurs ëlëmens des noms analogues à ceux des é^mens des puissttices.

Des trois âémens ci, x, y d'une faculté (£/,+ xf nous nommerons le premier u, base, le seecmd Xy différemce et le troisème j, exposant»

Coût d \bl natation adoptée ci-dessus, ^e sera justifiée par le passage des facultés aux puissances^ daniT le cas d'iexposans enti ers. Nous avons mis l'exposant au côté droit de In base et on peu plus baut, comme dans les puissances. La diffiSrence a' été placée à côté de la base, et sur la même Kgne, parcequ'elle peut se combiner avec la base par la voie de l'addition, comme on le vdt dans tes factorielles. Elle a été séparée de la base par une virgule, pour indiquer qu'elle ne doit être ajoutée que sous qudques conditions*

d€S focuUis analytiques. }• 14. form, 45. — » 47. jg

On a aussi ooutume de désirer une ftcidté (^t'+^y par u^^^y ou la diflPërence est placée â côté de l'exposant; maïs 3 paroît être beaueoup plus naturel et conforme â fo nature de la fonction dont fl s'agit^ de placer la différmice à côté de la base^ parcequ'elle se combine bien avec die par la voie de l'addition ou de la soustraction ^ mais non pas avec l'exposant*" n est bien vrai que les notations dans les mathématiques sont arbitraires* mais elles n^ le sont pas absolument; elles ne le sont que jusqu'à de certaines limites tracées par les régies indispensables de la conséquence^ sans laquelle les mathématiques n'eodstent pas. Certerb conséquciice est tellement inséparable de cette science qu'il n'est pas permis de la néghger. même dans les points les moins essentiels. Et la notation n'est pas de ces points; elle est beaucoi^ plus iipportante qu^elle ne semble Têtre à la première vue. Les signes sont la langue des mathématiques et l'art de la notation est celui de cette Jangue. Qu^on nous pardonne cette remarque: elle est susceptible de nombreuses applications dans toutes les parties de l'analyBC.

IV. Si dans la seconde équation fondamentale <39.) l'exposant f est un nombre entier^ elle donne en vertu de (II. 44.) :

Cette équation est identique et &it voir que les trois équations fondameiv» taies n'impliquent point de contradiction dans le cas d'exposans entiers.

y. Soit dans la première équation fondamentale (38.) js=0 et *=1, elle donne («,+Jp)'= («,+Jp)*(w, + dr)* et en vertu de (40.) Il = (w, + xfu. De l cm tire (//,+a?)'^s3 — ou biqp

La valeur d'une faculté quelconque est donc l'unité dans le cas ou l'cKposant est zéro.

YI. Ecrivons dans la première équation fondamentale (38.) -^y au lien de +/ et ^ au lieu deop, eUe donne (i/ri'a^)'== (2/,+Jp)'^(tt— ;yjr,+^)y. Cela donne en vertu de (46.)