F{x+k) = Far(l-|.+^Ç^^ ,.) ss (l-l)aFa

ce qui est évidemment faux. Mais l'application du théorème des limites du reste de la série n'a pas lieu ici^ puisque la série qui précède le reste est zéro pour une valeur quelconque de ^^ si ^ est ^0^ de sorte qu'au* cun terme pui pouvait servûr â l'évaluation du reste n'existe. On verra encore plus clairement la raison de cette exception dans la démonstration même du théorème des limites (§• 21.). En effet une des conditions de Texactitude de ce théorème^ comme le &it voir (§• 21. in.)# est^ que (pÇx'^'kyO) doit être zéro en supposant R^zss (p(xyk). Cette condition cesse d'être satisfaite dans le cas actuel^ car ici le reste J?» est la quantité FÇx-^-k) elle même^ qui n'est pas zéro en y mettant or -|- A: au lieu de X et au lieu de k^ mais plutôt invariablement F(a?-|~Ar). La condusion de ($e2L m) que <P(^ + A>0) est nul puisque tous les termes qui précèdent le reste se détruisent en mettant au lieu de k et x -^-k eu lieu de X excepté le premier terme qui donne ^(jf + At), de sorte F(j? + A)= F(x'^k)'^Rn et Rn=^Oy n'a pas non plus lieu ici^ puisque la série elle ïnême qui précède le reste est zéro et cesse d'exister.

n est vrai que la somme de la série (114.) qui précède le reste

R,, n'est zéro qu'autant que ^>0 ou bien A>0 et non pas dans le cas où

k=iO et x^^x-^ky qui est un de ceux qui se présentent dans l'évaluation des limites du reste. Dans ce cas on a (1 — 1)^=1 et Téquation (114.) donne F(x + k)^=sF(x + k) -f -Rn. Mais cette dernière équation donne R^ =±0. Donc le reste est nul dans ce cas, et cela s'accorde avec le théorème des limites; d'où l'on voit que ce théorème est loin d'être en dé&ut, même dans ce cas actuel. H cesse seulement ici d'être génératoment applicable.

de dtvdo]^emênt. §.23. /»rm. 118. — 120. 4S

La valeur du reste de la série est discontinue dans œ oas* En eflfet l'équation (114.) donne J7»s=F(jcr-{-A[) pour une valeur quelconque de k plus grande que zéro^ et £» =0 pour A[=:0.

D'ailleurs il n'y a qu^m seul cas^ celui de la nonexistenee de la série, ou bien de son indépendance des élémens x et k, où le théorème des limites du reste ne soit pas applicable. H l'est effectivement dans tout autre cas où les termes de la série qui précédent le reste dépendent des élémens variables x et k.

L'exc^tion de la régie n'a pas même lieu, si la série de dévdop* pement n'est pas infinie mais plutôt finie; dans ce cas la somme des termes qui précédent le reste n'est pas zéro, mab elle dépend de x et k; donc le théorème des limites y est applicable. Si l'on ne prend qu'une partie des termes de la série finie, le reste sera compris entre les limites du théorème* Ces limites se réduisent par elles mêmes à zéro à la fin de la série. L'exception, comme nous l'avons dit, n'a donc lieu que dans le seul cas où les différences AFxy A^Fxy A^Fx, . • . • ont des valeurs égales et des signes alternativement différents, et où la série est infinie. Dans ce cas le développement même de la série n'a pas lieu, et par cette raison le théorème des limites n'a lieu non plus ni pour un nombre infini ni pour un nombre fini des termes.

Les limites de la valeur du reste de la série gâiérate de Tajior trouvées (§• 21.) seront ordinairement assez éloignées l'une de l'autre, surtout à cause du coëfifident n+t dans l'expression (/s+l)'^n+>> lequel est infiniment grand pour izcssoo* Mais il existe des limites beaucoup plus resserrées qu'on trouve comme suit# L Nous avons vu plus haut que