u\u^= u^^ et

Ces deux équations exprimeront les propriétés fondamentales de la fonotion inconnue que noua supposons hypotfaétiquement et que nous appellerons arbitrairement puissance. L'élément u s'appellera racine^ l'autre élément y exposant, et nommément si l'on écrit

nous dirons que

u est la racine de la puissance z à exposant y^

y l'exposant de la puissance x de la racine u et

X la puissance de la racine u pour l'exposant y# On donne encore d'autres noms aux quantités u^ y y Zf savoir base, Ioga« rithme et logarithmande: nous en parlerons plus bas*

Nous ferons souvenir encore une fois que u^ n'escrime nullemait un produit de &cteurs ^aux exclusivement, ni quelque autre valeur d'une puissance dans un cas particulier, mais phitdt cette fonction inconnue sou» mise aux deux conditions exprimées par les équations (3. et 4.)* 1

n s'agit maintenant de tirer des propriétés générales (3. et 4.) les |

autres propriétés des puissances, pour en trouver les valeurs dans les cas particuliers» Mais il &ut que c^ se fasse sans recourir à autre diosç qu'?i ce que les équations (3» et 4») expriment^ et aux principes du calcul qui entrent dans les expressions mêmes*

Quant à ces principes, ce sont ceux de la théorie du positif et négatif et des quatre premières opérations: addition, multiplication et les inverses soustraction et divisian. Car le cas de la mult^lica« tion de deux puissances (éq« 3.^ est eelui de l'addition des exposans, et si k est négatif, on tombe dans la soustraction; le cas de l'élévation d'aune puissance à une autre est le cas de la multiplication des exposans, et si le nouvel exposant est une fraction, la division s'emploie. Il faut done que la théorie du positif et négatif, et e^e des quatre premièreà opérations, précèdent celle des^ puissances* Nous tes supposons établies^ eu nous reservant pour une autre occasioii l'essai des édairassemens qui peut-être seront néoessaires. Nous nous boruerans seidemmt & annoncer

6 §. 4. form. 6.— 10. /. Définition et

UA que k tiÈéond des quatre premfêres opérations peut être donnée dune manière semblable à celle dont on va se servir pour la thé<HÎe des puissances.

L Faisons j^ = 1 et Âr = 1 dans la seconde équation fondamentale (4.) elle donnera (u^y=u^'\ Mais, suivant la théorie de la multiplication, le produit 1.1 est 1; donc on a (2/^)'=i/^ Soit pour un moment u^=zWy réquation qu'on vient de trouver donne w^^=:ws donc en éorivant u au lieu de w, on a

Voilà le premier théorème tiré des équations fondamentales.

n. Soit dans la première équation fondamentale (3.) I: = et y = 1, elle donnera u^.v!'^=. û" ou bien, u étant = u^ (6.), u.u9=z u. De là on tire u^z=z — . Mais en vertu de la théorie de la multiplication, si le diviseur égale le dividende^ le quotient est l'unité, donc

7. u^ ^ U C'est le second théorème til*é des équations fondamentales.

m. SiqppoBons dais la première équatiim fondamentale (3.) /^ a— y, elle donne uy.i/-y=»î^=stt° et puisque a^'ssl (T.), uy.w^issi et pai* suite

Cest on troisième théorème tiré des équatieiis fondamentales. Puisqu*en

vertu de la tliéorie de la multiplication i/)".— ^s;-^ et en vertu de léqiia-

tion (8.) -j — uT^ on peut j ajouter comme corollaire