l+xy^i+k,x+k,x''{'k,x'....+k,x^'{'(n

C'est là la formule connue du binôme^ mms dans la plus grande généralitë; car les quantités u et ky ou bien x et k, peuvent être tout ce qu'on voudra ^ réelles ou imaginaires, ou même infiniesy le développement de la formule n'étant fondé que sur des transformations iden* tiques qui ont lieu sans aucune condition. En même tems la formule (148.) présente l'expression du reste de la série.

Etant partis immédiatement des équations fondamentales et n'ayant fidt que des transformations identiques, la formule du binôme a été trotfvée seulement au moyen d'opérations purement élémentaires et d'un seol coup, sans pass» successivement des cas particuliers aux cas généraux, comme à l'ordinaire, sans faire aucime supposition hypothétique, comme par. exm celle de la forme de la série, et sans le seoouni de l'idée des infiniment^ petits ou des limites etc.

Cela est important pour les élémens, et cette première application des formules générales, posées solidement, poinra déjà faire sentir l'effet de cette méthode générale qui est seule, à ce qu'il semble, propre à la nature de l'analyse. On sait combien d'artifices il hxA pour le dévdoppement or* dinaire de la formule du binôme, pour lui donner quelque généralité, et] que néanmoins la démonstration n'en ne réussit pas rigoureusement dans tous les cas, par. ex. dans ceux des valeurs imaginaires de k base ou de Vexpo^ sant. La méthode générale fait évanouir toutes les difficultés, sans d'autres mojexuA que les plus élémentaires.

Si l'on n'aimoit pas à mettre les développemens généraux à la tête des élémens, comme cda devroit être effectivement, on pourroit aussi dé« montrer séparément, et avec une i^eur égale, la formule du binôme, en imitant le développem^it de la sâîe générale de Taylor pour ce cas particulier. On peut voir cela dans le petit mémoire inséré dans le }onrnal des mathématiques sous le No« 25« tome 4. cahier 3. page 305.

54 î* 26. Jorm. 149. — 151. IV. ^ppiioatbm dt$ formules gmeraies

II ft'agit mamtenant de la conrergence de la série (142.). La recherche en est indispensable^ car la série^ si elle ëtoit divergente^ ne seroit d'aucune utilité.

I. A la place de la série (142.)9 ^î P^^^ 1® moment on veut laisser de côté le cas a = Oy on peut mettre la série (144,) qui^ y étant supposé zéro^ donne la série du binôme^ et qui^ comme nous l'avons remarqué cidessus^ fait fonction de la série générale (142.) dans tous les cas^ excepté le seul cas « = 0.

Donc la recherche de la convergence de la série générale se réduit dabord à celle de la convergence de la série (144.)^ le cas cts=0 étant excepté.

IL Supposons rédles toutes les quantités qui entrent dans Texpression (144«). Dans ce cas le théorème de la convergence (§• 23. YI.) y sera applicable.

m. Suivant ce théorème la série sera convergente si ses termes ne sont pas infinis^ s'ils vont en décroissant et si du premier terme de son reste Un savoir du terme