l+x)» = l+*x + *<|i)a.HÎ^Î:^xV

et dans tous les cas ou cette série sera convergente^ la série (144.) le sera également, et même la série générale (142.) le sera, le seul cas « = excepté pour cette dernière.

y« La quantité uï étant effacée dans les expressions (149. et 150«), elles se réduisent à

Puisqu'ici la quantité y, qui est la seule variable, n'entre pas dans (154.)> on voit que les conditions de la convergence delà série (151« ou bien 152.) se réduisent à ce que ses termes ne doivent pas être infinis, qu'ils doivent aller en décroissant et que T^^^ (153.) doit être zéro pour /z = oo.

TI. On voit qu'aucim des n premiers termes de la série (151.), on de la série (152,), n étant fini, n'est infini, les quantités qui y entrent étant supposées finies* Donc la première des conditions de la convergence est remplie. Mais la seconde condition, que les termes doivent aller en décroissant, au moins vers l'infini, sera satisfaite d'elle même si le terme ^n^x est zéro pour n ss oo. Donc la recherche de la série (144.) se réduit en dernière analyse â cdUe de ce terme, et en vertu de ce qui a été dit plus haut, fl n'y a qu'à voir si

est zéro pour /z = oo, ou non.

YD. n 7 a quatre cas. La quantité x peut être ou zéro, ou ± 1, ou ^ 1, ou entre et 1. Les autres valeurs négatives de x rentrent dans oelles«ci, parcequ'il ne s'agit point du signe du terme Tn^^.

Premier cas^ x=:0.

YIIL Dans ce cas la formnle (152.) donne (1-1-0)^= 1 et il n'existe point de sérieu

56 §• 26. form. 156, — 148. IV, Afpiiciiiion du formulée çinéralti

Seoond eas^ jp=:Hkl« IX* Si dans ce cas ^= — 1, l'expression (155.) donne

et on voit que T^^rx n'est pas zéro pour n = oo. Donc la série (152.) qui exprime (1±1)"'* est diyergente.

X« Si Ar«< — 1^ la valeur absolue de 7^„^.i (155.) est encore plus grande que \. Donc la série (152.) en exprimant (l + l)r^^ k étant >1^ est encore divergente.

XI, Si /r> — 1, nous aurons la valeur de Ty^^ pour /ï = oo en appliquant A Texpreasion de cette quantité (155.) cette autre en SBtcultés (57.) savoir