x= (kw4r

qui a lieu pour ^ =s oo« En effet en mettant dans le numérateur de T^^^o i/=Ar^ jts= — 1, j^ = /2^1 et dans le dénominateur ii = l,y=s/i-f-I, /f = 1^ on a

c'est-à-dire

et cela donne T'^.bsO pour nscoo^ k étant supposé ^ — 1 ou bien A + 1>0.

D'après cela la série (152.) seroit toujours convergente si a? = ± 1 et A>> — 1; mais il y a ici à excepter le cas de (l — 1)^ si k est > — 1 et <;0. Car dans ce cas l'autre condition de la convergence de la séri^ qu'aucun terme ne doit être infini^ n'est pas satisfaite^ puisque dans ce cas (1 — 1)* est infini lui même. Donc l'expression de (1 — 1)'' par la série (152.) n'est convergente que dans le cas où Ar>>0; celle de (1 — Xf^ l'est toujours^ k étant >• — 1.

Xn. n 7 a encore les cas Ar = 0. Dans ce cas la série (152.) donne (l+x)*=t. Donc on a (1 + 1)^=1.

Troisième cas^ x^\m Xm. Supposons jr = 1 +^> on a en verta de (152.)

dt développement auso puisêances. §. 26» ^791, i59. ««- 162. $Sf

Cette s^rie. /2 étant un nombre entier^ finît par le terme '^V^^'^~^]''''^sf'.

car les coëfficiens de tous les termes suivants ont n — n = pour facteur et sont zëro par cette raison^ de sorte que la série donne la valeur complète de (l+«)'^=a?'*^. Maïs tous les termes de la série (159.) sont positifs, z «yant été supposé positif; donc la somme de la série est plus grande que chacun de ses termes^ Elle est donc par ex, plus grande que le terme

IM (n+i)n(7«-l),...fn-(m-l )) ^•o* • • • TU

Mais ce terme^ m étant supposé un nombre fini^ est évidement oo^ si l'on suppose /i = (x>. Donc le second facteur deT„^^ savoir (1 + ^)"^*, ou bien x^^y est une quantité infinie si ar>l et /i = oo,

XIV. Crfa posé, soit en premiw lieu Âr = — 1 ou k<^ — 1, nous avons vu (IX. et X.) que dans ce cas le premier facteur M^'-^y— 2). ...{k —nl

de Tj^^^ (155.) n'est pas nul; donc T„^^ dans le cas actuel n'est pas zéro pour nssoû, mais au contraire infini. Donc la série (152.) est diver* gente si ar>l et i= ou < — 1.