e-Fj. = ^^^j

Mais puisque la quantité y^ qui est la seule variable , n'entre plus clans (185.)^ on voit que les conditions de la série (183. ou bien 180.) se réduisent a ce que ses termes ne doivent pas être infinis, qulls doivent aller en décroissant et que y„+x (184.) doit être zéro pour /i = oo.

y. On voit qu'aucun des n premiers termes de la série (183. ou 180.), n étant fini, n'est pas infini; les quantités qui y entrent, savoir u et

A, étant supposées finies, car nous avons trouvé que ^ est entre et

1 , si II est entre 1 et 2.^ et = m — ^ — pour une valeur quelconque positive W^ de u. Donc la première des conditions de la convergence de la série est satisfiadte. Mais la seconde condition, que les termes dmvent aller en décroissant ^ au moins vers l'infini, sera satisfaite d'elle même si le terme T^^ est zéro pour /i ss oo* Donc la recherche de la série (183. iHi liien 180.) se réduit en dernière analyse à celle de ce terme, et il n'y a qu'à voir si T„^ (1^4.) est zéro pour n^^oo ou non.

VI. Gomme — q— est toiijours une quantité finie, on peut supposer 186. k . 'L—t — X ou  est fini. Par cela l'expression (184.) se réduit a

de développement aux puissances* J. 29. form, 187. et 188. 65

et il ne s'agit que de voir si la valeur absolue de cette quantité est zéro ou non pour nssooy K étant une quantité finie quelconque*

Vil. Supposons la valeur absolue de X plus grande que le nom« bre entier fi et plus petite que f( + l« Puis mettons T^^+i dans la fonne

On voit que dans cette expression le premier fecteur ^-x est

toujours une quantité finie. Le second facteur , ^ ^ A. ayant été supposé plus petit que fi+l> ^^ ^1* ^^ autres facteurs qui suivent sont encore plus petits. Donc 7),+, n'est pas plus grand que 5-5 • ("ZCt)

Mais -3JJ étant < 1, cette quantité peut être supposée =5 rn7-> où z est

positif; donc 71,+» n'est pas pkis grand que jy- — -• . .^ . a^+,l.^ . Mais en

vertu de ce qui a été démontré (§. 26. XIV et XVII.) m i ^\n+i-/4 ®st zéro pour /î = oo. Donc aussi 7^,+,^ le facteur g-^ de cette quantité étant

fini^ n'est pas plus grand que zéro pour /is=:oo. C'est-à-dire T^^ est zéro pour n = 009 K^ ou bien k et i^^ ayant des valeurs quelconques.

Donc la série (183.) ou bien celle (180.) est convergente dans tous les cas où ^ et A: ont des valeurs réelles ^elconijuies et 11 une valeur réelle positive quelconque.

Voyons ce que nous donne d'ailleurs la série (183.) dont qous venons d'examiner l'existence et la convergence.

I. Nous avons vu ($. 27. IVt) que si ii est entre 1 et 2^ la quantité îî^ est entre et 1^ et (J. 27. VI. 178.) que (^"')^— l ^î^z:^^ ^^ m peut être tout ce qu'on voudija. De lu on voit qu'en donpant ù m une

valeur convenable^ on peut &ire 77i.^^<*^8b 1* Donc aussi ^" ■ ^q~ peut être sst pour ime valeur convenable de o% ou bien de u, eaoi écrivant simplemrat u au lieu de ii*". Soit e la valeur encore inoomme de u pour

M §• 29. /bm. 189. ^ 193. ir. Applicaiion d€$ fwmulu générales

laqueUe ^ T =1, la série (183.) donne dans oe cas

Par cette série m^e on trouve sur le champ la valeur de e si Ton fait Arssl^ savoir

190. e==: l + 14--|- + 5^+j-^.... ==2,7182818286.... C'est la valeur de u pour laquelle — ^ — = h ^® ^^^^ que

II. Maintenant une puissance quelconque u^ peut être exprimée également par toute autre racine v^ si on lui donne un exposant convenable* En effets soit v"* bb ir^ on a