ma? = 2"'^ sm— sm — = — sm sm — - — sm

sm ^-^ — ' — sm-^--^ '

pour le cas d'un m impair^ et à

330* 8ui;rc= 2"" *cos— sm — sm — = — sm sm — sm .

• ••••sm=-^ — * — sm-

dans le cas de m pair.

Cesonti comme on voit^ les expressions du sinus d'un arc multiple par le sinus de l'are simple qu'Eu 1er a trouvées par une autre voie dans rintrod. in anal, inf, tom. I. cap. 14. §.240. On voit qu'elles se tirent immédiatemait du th^rème de Moivre.

m. Si l'on veut appliquer les expressions (329. 330.) au cas .r = 0^ il faut recourir à la formule (214.). Cette formule donne

ac*

donc pour jp ss 0>

SIPJC

Si donc on divise les expresMons (329. 330.) par sin — et <|u'eQSuite on fisMse jpssO, on trouve

et eo extrayant la racine quarrée^

94 §• 37. form. 332. — 337. V. ApplUmiion de la sMe g^nércde

ooA • * . 2^» , 3» . m — 1 m*

332. sm — 8in — un — ....tsm-^ — w s» -— ir pour m impair^ m m m 2m =yi * *■

ooo • ^ . 2flp . 3ir , m — 2 m^

333* 8in — sut — sm — ••••srn-Tr — « = -==; pour m pair. m m m 2m ^ '^ ^

Nous passons maintenant au développement de cosar et sinjr en factorielles.

TL C'est comme on sait le théorème de Cotés d'où l'on tire ordiniûrement les expressions de cos^r et sinor en forme de factorieUes. Euler par ex. {Introd. in. anal. inf. tom.I. cap. IX. $• 156*) les trouve à Taide de oe théorème. Biais > comme nous verrons , on peut aussi avoir ces expressions à l'aide d'un autre lemme et sans le secours du théorème de Cotés.

Soit fx une fonction quelconque rationnelle de x^ par ex*