iai-k,+xy^(u-\-x,+xr[u + fcy

. k(k-xXk-~Qx)„..(k-(n-i)x) y(y-l)....(y--(/i — 1)) "l "••"*" 2.3.... « (a+ar)(«+2a?),...(u+(/i— l^J"^ "*

Si dans cette expresnon on fint i/ssO et xsssl, on a

(t,+l)' » (l,+l)>^V[t,+*.(y-l).+t,(y-l).....+t»(7-l)-.J+«^> ou bien, (1, + irV étant (l, + l/ (38.),

377. (ft, +1/ = (1, + t/[Ar»+*,(r — l)»+*3(y~l]. .... + A:,(y-l)^l+/f« . TI. Si dans (373.) on feit u soirs — 1, on a

OU bien, en mettant k au lieu de k — 1 et avisant par (1, -f- 1/,

.... + âTJ—T^ y«J+«-

Puisque ^"^-^ ^t Texpreanoa du coefficient binonûal ky^ la série â droite

dans (370.) donne le dévdoppement de ce coefficient^ ofiéme pour le cas on l'exposant y n'est pas un nombre entier.

L'expression (377.) donne une autre expression de ce ooeffidest en y mettant — /r au Ueu de + ky savoir

Vn. Quant à la convergence des séries trouvées dans ce paragraphe» nous en remettamiB la reefaerche A une antre ooeasion de même que celle

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I0# J. 42. form, 38i. — ^86. VI. jfyplieaHon dt farmuUs g/n/raU»

des sârîes du paragraphe pr^eédent et neos panevom au dérelopponent des fecultës par le moyen de la variation de l'exposant.

Développement des facultés analytiques par la variatioa

de l'exposant.

I. En variant l'exposant y dans (Uf+xy la série générale de Tajlor (78.) donne

381. («,+*r* = («,+^/+ ^((uy\-xf*'-^(u, + a;y) Mais on vertu de la première équation fondamentale (38,) on a

donc ici

383. j A*iu,+xy = (w,+*)^[(«+:>'ap, + «r-«(i.+^*,+«)«+ 1], et en substituant dans (381.)