BERLIN

I E Z M. Il L I M I. i;

in 2009 witii funding from

University of Ottawa

http://www.archive.org/details/mmoiresurlatliOOcrel

Note préliminaire.

A. la fin d'un petit mémoire sur la convergence de la série du binôme, inséré dans le second cahier du cinquième tome du journal des mathématiques que fe publie, où jai applicjné la méthode de d'Alembert ù la série du binôme pour on ju;;er la convergence, jai promis (pag. 196.) de traiter cet objet encore dune autre manière directe, en opérant immédiatement sur lexpression générale et identi<pi3 du reste de la série, par une certaine méthode générale dévaluer les restes des séries, dévolojipées suivant les diHerences au lieu des «iifférentielles; méthode qui s'applique au thé'orème général de Ta) lor d'une manière semblable à celle qu'a donnée Mr. Lag range pour 1 évaluation des restes de la série particulière de Ta) lor et qui a été perfectionnée par Mr. Ampère.

Je veux macquitter ici de cette promesse. Mais comme il étoit nécessaire de présenter d'abord les dévéloppemens et théorèmes généraux mêmes dont on voulait faire une ap[)Iication particulière, comme, aussi, la théorie des puissances elle mémo étoit presque inséparable de lobjet quon alloit traiter, et que dun autre côté il se présentait ainsi une bonne occasion et un moyen facile de faire encore d'autres applications des principes fondamentaux, une fois (piils seraient établis, ce mémoire, destiné originairement il un objet très spécial, a reçu une beaucouji plus grande étendue, et embrasse maintenant, comme applications des principes généraux qu il pré-sente, presfpie toute la théorie des |»uissances, des logarithmes, des cpiantités exponeiilielles et fonctions angulaires, suivie des points principaux de la théorie dos factorielles et facultés anal) ti<pies ; tout cela suivant les vues qui semblent être propres à ces objets.

Ouant à la théorie des puissances, des logarithmes et fonctions angiilaires, on pourra être étonné, de me voir reprendre des objets traités tant de fois: mais on trouvera dans le mémoire même les raisons qui m'y

2 Note préliminaire.

ont engagé. On remarquera qu'effectivement la théorie ordiîuaîre est encore très imparfaite tant pour la rigueur des démonstrations que pour la conséquence, et qu'elle n'est pas exempte de lacunes, imperfections qui proviennent, à ce qu'il semble, de la séparation et du morcellement d'objets qui ont une seule et même source, de l'omission de points essentiels, par exemple, de la recherche de la convergence des séries auxquelles on parvient, et de l'usage de procéder des cas particuliers aux cas généraux, au lieu de suivre la voie inverse. D'après ces motifs il ne semble pas inutile de reprendre ces objets, d'autant moins, tjuils entrent dans les élémens, qui surtout doivent être bien établis et n'offrir jamais de lacunes ni de démonstrations foibles.

Il est vrai que si dans le mémoire présent on excepte cpielques théorèmes et éclaircissemens généraux, et quelques théorèmes de la théorie des facultés analytiques, les résultats nouveaux qu'il contient ne sont qu'eu très petit nombre ; mais on y trouvera plusieurs vues nouvelles, ainsi que la pratique dune méthode , qui seule me semble être propre à l'analyse et pour ainsi dire lui appartenir comme innée. Ce ne sont donc pas les résultats, mais c'est surtout la méthode, à laquelle je prie le lecteur de vouloir bien accorder son attention. On eu verra les eff'ets, et l'on trouvera que par son secours les difficultés que laisse la méthode ordinaire, peuvent effectivement être vaincues et les lacunes remplies.

Depuis un nombre d'années je prépare un traité d'analyse qui doit embrasser cette science dans toute son étendue et dans sou état actuel. Un tel omTage me semble devoir devenir très utile à la science, et je le crois même d'une nécessité urgente; car la science analytique s'est, sm-tout dans ce dernier tems, tellement étendue et ramifiée, qu'il n'est presque plus possible à celui qui l'étudié d'en embrasser toutes les parties comme formant un ensemble. Le problème que je me suis proposé présente sans doute de très grandes difficultés. La seule collection des objects nombreux qu'il embrasse en forme la moindre partie. II s'agit surtout du système, et pour cela il ne suffit pas de ranger les objets dans un ordre tel que les tI)éorèmes et propositions ne se rapportent jamais qu'aux théorèmes et propositions qui précèdent: il s'agit de suivre la liaison intime et naturelle des propositions jusqu'à leur origine, de rapprocher les objets qui ont la même source, et de faire voir, par la doctrine elle même, son organisme et son développement naturel. Il s'agit de cette méthode non-

i. Dejinilion et propriétés des puissances. i- !• 3

arbitraire, qui convient à loljjef, et cette méthode est le point le plus difficile dans une science, et eu même tems le plus essentieL Les combinaisons de vérités connues, même pour eu découvrir de nouvelles, ne forment pour ainsi dire <[ue la praticjue delà science; la méthode eu est l'esprit. La seule force d invention a plus ou moins besoin du secours du hasard, pour arriver à de nouvelles idées heureuses, qui puissent agrandir le domaine de l'analyse. La véritable méthode, savoir celle qui se tire de l'essence et de l'organisme de la science elle même, est le moyen direct et sûr d'en franchir les bornes. Je sens donc fort bien l'immense difficulté de ma tâche, et je n'oublie pas que je puis être accusé de témérité, d'oser entreprendre un tel ouvrage. Mais je serai content, si mon essai coutribuera au moins à encourager d'autres personnes, ù suppléer ce que j'aurai peut être manqué ou négligé.

J'ai parlé de mon entreprise parceque le mémoire présent peut être aussi regardé comme un échantillon du traité que j'ai en vue. C'est pourquoi je le présente sous la l'orme d un cours élémentaire, plutôt que sous celle d'un mémoire destiné aux personnes consommées dans lu science : Il fera surtout voir par un exemple la méthode que je me propose de suivre.

J'entre en matière.