I. Définition et propriétés des puissances

Ou ne peut pas dire généralement cjuuiie puissance p. e. u^ est ini produit de )" facteurs égaux à u. Cette définition cesse déji'i d'être bonne si y est une fraction, [)arcequ'ou ne peut pas multiplier le nombre u p. e. y ou f fois par lui même. Il est vrai <pie, dans ce cas, on peut dire que les puissances sont les racines du nombre u p. e. que «* est le nombre qui, midtiplié trois fois par lui même, donne u. Mais cette dernière définition n'est pas exacte si l'exposant y est un nombre irrationnel, puisqu'il n'existe pas de fraction qui puisse exprimer la valeur irrationnelle de l'exposant. Ici on pourroit encore recourir à l'approximation, mais elle n'olfiuroit pas d'idée claire et précise de 1 objet; et

4 §. 2. form. 1. tt 2. l. Léfiniiion et

si enfiu l'exposaut est une quantité imaginaire, l'approximation ne réussit pas [non plus.

Donc en allant des cas particuliers aux cas généraux, on ne parvient pas à quelque délînition générale et précise des puissances bonne pour les élémens.

Il est plus naturel, et même il n'y a ici, pas plus que dans plusieurs cas de l'analyse, d'autre moyen que de supposer In^pothétiquement les propriétés fondamentales d'une fonction encore inconnue, pour eu tirer ses autres propriétés, son développement en séries et son rapport avec d'autres quantités. Si en premier lieu ou trouve que les résultats tirés des propriétés supposées ne sont pas en contradiction entre eux, on sera sûr rjue la fonction supposée existe réellement; et si, en second lieu, les résultats coïncident dans les cas particuliers avec les expressions des puissances dans les mêmes cas, rien n'empêche de donner le nom de puissance à la fonction supposée. Le doute que la fonction supposée soit véritablement et précisément ce qu'on a coutume d'appeler puissance, n'est qu'apparent, car, en partant des cas particuliers pour procéder à la découverte des propriétés générales des puissances, on ne trouve pas ces propriétés, on ne fait également que les supposer pas à pas. On fait au fond la même chose que nous faisons ici, mais avec un détour inutile et par une voie incertaine et exposée aux erreurs. La marche vraiment analytique, qui mène des expressions générales aux résultats particuliers, est la voie naturelle et sûre ; tandis que la voie inverse n'est qu'une sorte d'inductiou, dont les résultats doivent êire iiécessairemeut plus ou moins incertains.

Supposons donc ime fonction encore inconnue f(u, y) des deux quantités u et y, qui ait les propriétés: que si y varie d'une quantité arbitraire k, les deux équatious