fc l,l)" = ±{V,-\-if[\.-k,-^k^ — k^....±k

de di'veloppemeiU des fonctions aux faculu's analytiques. §. 41. form, 367. — 369. IQI

C ola saccorde comme on voit arec (362.), si dans cette dernière formule ou suppose fi = un nombre entier.

^ III. La série (358.) t'taut généralement peu convergente et peu utile dans le calcul en nombres, si non dans le cas où l'exposant est un nombre entier, nous remettrons la recherche de sa convergence à la continuation prochaine de ce mémoire. Si l'exposant est un nombre entier, la série n'est i)as infinie. Le nombre fini des termes, qu'elle a dans ce cas, donne exactement la valeur de la factorielle, et il ne s'agit pas de la convergence.

IX. Mais il se présente encore ici un cas remarquable. C'est celui où o = x et qui donne les séries (360. 361. 362.). Dans ce cas on a, comme le font voir les expressions (347. et 348.), (u — x,-\-xy = {) et A(u,+x)' = — («, + or-)'', donc A^ (u, + x)' = + («, -j- a^)', A'(u,-{-a;y = — (u,-\-xy etc. c'est-à-dire que les différences de (u,-\-xy de divers ordres ont ici la même valeur absolue que la cpiautité primitive et les signes alternativement positifs et négatifs. C'est donc ici un exemple des cas donc nous avons parlé (§. 22.) et il suit de ce qui y a été dit, que les formules (360. 361. 362.) n'ont pas lieu dans le cas actuel, toutes les fois que lexposant y n'est pas tm nombre entier. Elles n'ont lieu que si y est un nombre entier n. En effet on voit par ex. dans (362.) que cette formule, le facteur 1 — A'.-}-/rj — Aj . . . . étant = (1 — 1)*=0, donne (A — 1, — iy = 0 pour ime valeur quelconque positive de k, résultat évidemment faux. La série (362.) n'existe pas, si y n'est pas entier et au lieu dune série développée ou n'a dans ce cas que l'expression identique {x + k,-\-xf=ix-\-k,-^xf.

4L Second cas x = -\-x

I. Si dans la première écpiation fondamentale des facultés (38.) on écrit 1 et j' au lieu de y et k elle donne en vertu de (40.)