fx = AÇx

VI. Cela posé, nous ferons remarquer qu'en vertu de la première équation fondamentale des facultés (38.) on a

(i,+i)*-' = (1,-1-1/ (14-'., +ir',

donc, (1-|-A:,4-1) ' en vertu de l"é<uiatiuH (47.) é'.ant = j = — :

de dcveloppement des fonctions auxfucullcs analytiques, §. 45. form. 456. — 460. 119

C<^Ia donne, en écrivant yk au lieu de k,

En dinsaut (455.) i)ar (456.) ou a

oti bien

(1,+!)^ (I,+iy* '

Si flans cette expression on nuiltipHe à };auclie le numérateur et le déno" niiiiateur par (1,+t) ' (I, + I) '^....(1,+!) ^^ , on aura

Dans cette équation le numérateur à gauche se tire précisément du dénominateur en mettant dans ce dernier ^-| au lieu de h. A droite le nu-

mérateur seroit également produit du dénominateur par cette même substitution, si le facteur y~' ny éfoit pas.

Pour faire sortir exactement le numérateur à droite du dénominateur par la substitution de A'-] — - au lieu de k, il n'y a qu'à multiplier à droite, ea haut et en bas, par un facteur p=\pk tel, qu'en y mettant

A'-j-— au lieu de k, on ait — — '— = j-~\ On voit sans peine que ce

facteur sera de la forme

où {3 e.st une quantité indéterminée, indépendante de y, car en / mettant A -| au lieu de A , on a

Donc eii écrivant au lieu de l'équation (458.) celle ci;

(l,-hl)'~^(l,+ l/~^(l, + ])'~^ (1, + 1)*"'

(Ir+iyVlîll' ^ (1, + 1)-V^^ (1, + 1/-.^-^^-^'* (1, + !)^^'

Î20 s- 45. /orw. 461. — 4G4. VI. Application des formules f:cnc/ales

quî est identiquement la même chose, on a une équation où les nutnérateurs i'( gauche et à droite se tirent précisément des dénominateurs en mettaiit dans ces derniers A-j au lieu de k.

Donc cette équation sera précisément dans le cas de 1 équation (453.) et le lemme (V.) j sera applicable.

Y II. Suivant ce lemme les dénominateurs à gauche et à droite, ,et par suite aussi les numérateurs, ne différeront luu de l'autre que par uu facteur A indépendant de y; donc on aura

461. (1, +l)'(l,-f !)'"> (l.-j-l/^" ... .(1,+1)'~1" = '(l,-\-l'\^-'y'-\A. Faisant dans cette équation k = 0, elle donne

IMais eu ^ertu de lexpression (449.), quon tire du théorème de Mojvre combiné avec les résultats que donne la théorie des facultés appliquée aux fonctions angulaires, sans le secours de la formule (436.), ou a

(i,+i)-3-(i,+jr7....(i,-j-irT^ = ^'''' '

donc la forn)ule (462.) donne

Cela étant substitué dans (461.) donne

(l,+l)ni,+l)'~î"(l,+l)'~^....(l,+l)'~T' = (1+lf j--'.^^yjou bien 464. (1,+lf = ZL^(i^ +1)^(1, +i/-F(l,+l/-f..,(i,+l)*-T',

(2^) ^ C'est la formule de 3Ir. Legendre (450.) qu'il s'agissait de démontrer.

Nous terminerons ici ce mémoire, en nous réservant pour la suite la continuation des recherches cur les facultés analytiques. On sait que ces fonctions sont très utiles dans l'analyse et il est même probable, que de nouvelles applications remarquables et importantes, par ex. à la résolution des écpiations algébriques, en pourront encore être faites. Berlin au mois de Juin 1831.