i^(l,.|.l)*ri,^.l) *r(l,+l) )....(1,+1) y

11$ §• 45. form. 451. — 455. Vl. Applicaiion des formules géncralex

Voilà l'expression dune faculté (1,4-1)' <lont l'es [Misant y i est un multi|'le entier de h, pai* le produit d'autres facultés dont les exposans ne contiennent que h suivi de fractions dépendantes de y.

Cette expression est celle que IMr. Legendre a trouvée par une autre voie dans son traité des fonctions elliptiques tom. 2. page 444. où l'expression Yx s'accorde avec notre (1,-J-l) , coname on le voit par la lornnile 2. page 416. du même ouvrage. La formule de cet illustre auteur (page 444.), écrite avec nos signes, est la suivante

451. (l,+ lf"'(I, + ir'^^ (l,+lf~ "^ ". ...(i, + I)""'^^' = (1, f 1)""' (27r^ni-\

Si dans cette expression on met d'abord x-\ au lieu de x et qu'on

écrive les facteurs à gauche dans l'ordre inverse, elle se réduit ù

-h~nx

452. (l,+ ir(l,+l) "(1,4-1) ".... (1,4-1)' "=(l,-fl)"^(27r)-«-"

et cette expression, en j écrivant k et y au lieu de x et /?, s'accorde parlaitement avec (450.). Cela olTre une preuve n posteriori de l'exactitude (le la formule générale (66. ou 67. ou 436.) de laquelle nous sommes partis.

V. Nous donnerons encore une autre démonstration de la formule (450.) sans le secours de la formule générale (436.). Elle sera la troisième du théorème, celle de Mr. Legendre étant la première.

Si fx et Ox désignent des fonctions quelconques de x et qu'on ait l'équation