M -r—^ r^nr\ ^^^ ^* l""^ petite valeur de y„+, et
131. ZV^ — ; —^ 'ï~~ X-'u " — ®^*^ '^ P'"^ grande valeur de 7],+, .
III. Cela posé, si, dans la série (78.), les quantités F{x-\-k) et l'x avec les /2 + 1 premiers termes qui suivent Fx, n étant un nombre fini, ne sont ni imaginaires ni infinies, le reste i?, , comme il a été remarqué (§. 21. n.) ne sera également ni imaginaire ni infini; donc les quantités sous le signe A (127. et 128.) composées du reste i?„ et de son premier terme ^17+1 (130. et 131.) seront des fonctions de x et A- ni imaginaires ni infinies pour aucime valeur de leurs élémens. Donc ces quantités seront parfaiteliient semblables à la .fonction (p (x, A) supposée (§. 20.) et on pourra faire
,32. K - .« '.itz^^;.:f--Zi^ = ,, (., .) e.
,33. .,- .v^.I^»)£=M^^-ziiiO = ,.(,,,,
IV. Donc, eu vertu de ce qui a été démontré (§.20.), la valeur
Il t'i' q>Jx-\-k,Q) — w {x,ic) . . ..II
de la quantité ^^ — — -j — ^-^ sera toujours comprise entre la plus
j)etite et la plus grande valeur de "^ ' ^^' , et la quantité '^^ ^ i—'Pi^-, l
entre la plus petite et la plus grande valeur de — £j±-^—!..
Mais nous avons vu (§.21. ITT.) que R„, en y mettant x-{-k au lieu de X et 0 au lieu de A, se réduit à zéro. II en est de même des
,.,, j.jl-(k—a){k—2a). ..{k — na) ■,-k(k—cc){k — 2a)....(k—na)
(juantites M — Ç-i-„ / . . et iV -i i^- ——.- ,
^ 2.3.... (^4- Ij 2.3....(n+l) '
ces cjuautités a^aut A pour facteur. Donc les quantités cp, (.r, A) et (Pi{x,k), (132. 133), en y mettant x-\-k au lieu de x et 0 au lieu de A, se réduisent à zéro , et on a ip^ (a; + A, 0) ^ 0 et <pj {x + A, 0) = 0. Par là les
AQ •;. 23. III. Formules générales
quantités — ' — -^ et -^ ' ^ — ^-^ se réduisent ii
q^j£jO ç^ Ï2l£ii}. Donc en vertu du théorème (§.20.), que nous
venons de citer, la quantité — ^^' — ^^^^ comprise entre la plus petite
et la jilus grande valeur de ^ ^' et la quantité — ^' f^' entre la plus
petite et la plus grande valeur de — ^ ou bien ^-^ — ■ sera comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de A(p,{cc,h) et — a(f^[x. ,) gjj^j^.g [g pj^,g petite et la plus grande valeur de A cPj (ji-, A).
T. Mais les quantités A(p^{x, k) et A (p^ (x, k), comme le font voir (132. et 133.), ne sont autre chose que celles (127. et 128.). Ces dernières quantités, comme le font voir les expressions (127. et 128.), ont la propriété de n'avoir, la première que des valeurs négatives, et la seconde que des valeurs positives. Donc aussi la plus petite et la plus grande valeur de A(p^(x,k) seront négatives en même tems et la plus petite et la plus grande valeur de A<p^(x,k) positives toutes les deux. En appli- ([uant cette remarque au résultat (I^ .) on en tire la conclusion que la
quantité — ££i^j — ggra toujours négative, c" est-à-dire «ci^O et la quantlt^, — "'^^^^' toujours positive, cest-ù-dire >0. Donc les quantités
(Pi(.r, A') et (p^{x,k) auront nécessairement des signes différents, cestù-dire, si luue est >0, l'autre sera ^O.
Mais ces quantités, comme le font voir les expressions (132. 133.), ne sont axitre chose que les différences entre le reste B.„ et la plus petite et la plus grande valeur de son premier terme. Donc la valeur du reste est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de son premier terme.
VI. On a supposé jusqu'ici que le nombre des termes qui précèdent le reste est fini (III.), mais en vertu des réflexions (§.21. W.) le ré-sultat a lieu encoi-e si même le nombre des termes est infini; donc on a le théorème suivant.
Si dans la série générale de Taylor (78.) les quantités F{x-\-k) et Fx et tous les termes de la série qui suivent ne sont ni imaginaires ni infinis et vont en diminuant, la valeur du reste iî„ qui suit les n
iU développement. J. l'3. 4q
premiers termes après Fa- est comprise entre les valeurs de son pre-
