X- (A-— aVA— 2 «1 , . . . f A— ,T «) A''+' F.r

mier terme i>..j ....,„.i-n ■ ^^,+. correspondantes à la

plus grande et à la i)lus petite valeur que peut avoir la quantité — ^jfî — pour les différentes valeurs de x depuis x jusqu'à x-\-k.

On voit que si dans l'infini ces valeurs du premier terme du reste R„ sont zéro toutes les deux, le reste sera zéro également. Donc dans ce cas la série sera convergente. Si les deux valeurs du premier terme du reste dans l'infini ne sont pas nulles mais finies on mfinies et de même signe, la série sera divergente.

Vn. Puisque la démonstration de notre théwème a lieu pour une valeur «{uelconque de j", et nu-me pour « = 0, qui est le cas de la série particulière deTaylor sous la condition (§. 18. YL), le théorème s'appliquera également à cette série et il s'éuoncei-a dans ce cas comme suit:

Si dans la série particulière de Taylor (91.) les quantités F{x-\-k) et Fx et tous les termes de la série qui suivent ne sont ni imagiuaii'es ni infinis et vont en diminuant, la valeur du reste R^ qui suit les n premiers termes après Ix est comprise entre les valeurs de

son premier terme y^ . . . o""^^ Fj? qui correspondent à la plus

grande et la plus petite valeiu* que peut avoir le coefficient différentiel c*"+'Fx pour les différentes valeurs de x depuis x jusqnà x-^k.

Si dans l'infini ces valeurs du premier terme du reste iî„ sont zéro toutes les deux, le reste sera zéro également et la série sera convergente. Si les deux valeurs du premier terme du reste dans l'infini ne sont pas zéro mais finies ou infinies et de même signe, la série sera divergente.

Le théorème général que nous venons de démontrer donne, comme on voit, dans le cas de la série particulière de Ta} lor le théorème de Lagrange démontré plus simplement par Mr. Ampère à l'endroit cité.

5q §. 24. form, 134. — 136. IV. ApiMcation des formules générales