xf = 1 + kx -j — ^— — x

k{k-i) (k--2) .... ik-(n-l)) „ , k{k-m-2)....{k-n) ^ /('J+.r)^-i\

de développement aux puissances- i. 25. form. 148 53

OU I)ion ciipore, si pour abrcger ou veut se servir de la notation des coelïiciens (79.),

148. (l+x)^ = l+A'.a-+A',x'+A-,x^...+Âr„x''+(/2+l)^,.^.AY^^ti\

C'est là la formule connue du binôme, mais dans la jilus grande griR-raliti' ; car les quautitc's u et k, ou bien j7 et k, peuvent être tout ce (pion voudra, réelles ou imaginaires, ou même infinies, le développement de la formule uétaut fondé que sur des transformations identiques qui ont L"eu sans aucune condition. Eu même tems la formule (148.) présente l'expression du reste de la série.

Etant partis immédiatement des équations fondamentales et n'ayant fait que des transformations identi(jues, la formule du binôme a été tromée seulement au moyen d'opérations purement élémentaires et d'im seul coup, sans passer successivement des cas particidiei-s aux cas généraux, comme à lordinaire, sans faire aucune supposition hypothétique, comme par. ex. celle de la forme de la série, et sans le secours de lidée des Liûnimentpetits ou des limites etc.

Cela est important pour les élémens, et cette première application des formules générales, posées solidement, pourra déjà fah'e sentir l'elFet de cette méthode générale qui est seule, à ce qu'il semble, propre à la nature de l'analyse. On sait combien d'artifices il faut pour le dé\ eîoppement ordinaire de la formule du binôme, pour lui donner quelque généralité, et, que néanmoms la démonsh-atiou n'en ne réussit pas rigoureusement dans tous les cas, par. ox. dans ceux des \ aleurs imaginaires de la base ou de l'exposant. La méthode générale fait évanouir toutes les difficultés, sans d'autres moyens que les plus élémentaires.

Si l'on naimoit pas à mettre les développemens généraux à la tête des élémens, comme cela devroit être efFectivement, on pourroit aussi démontrer séparément, et avec une rigueur égale, la formule du binôme, en imitant le développement de la série générale de Taylor pour ce cas peirticulier. On peut voir cela dans le petit mémoire inséré dans le journal des matliématiques sous le No. 25. tome 4. cahier 3. page 305.

54 §• 2G. Jtitm. 141'. — Ijl. IJ"^. AppHccidon des formules générales

II sagit maintenant de la convergence de la série (142.). La recherche en est indispensable, car la série, si elle ctoit divergente, ne seroit d'aucuue utilité.

I. A la place de la série (H2.), si pour le moment on veut laisser de côté le cas « = 0, on peut mettre la série (144.) qui, y étant supposé zéro, donne la série du binôme, et cfiii, comme nous lavons remarqué cidessus, fait fonction de la série générale (142.) dans tous les cas, excepté le seul cas a = 0.

Donc la recherche de la convergence de la série générale se réduit d abord à celle de la convergence de la série (144.), le cas «=U étant excepté.

II. Supposons réelles toutes les quantités qui entrent dans l'expression (144.). Dans ce cas le théorème de la convergence (§. 23. VI.) y sera applicable.

III. Suivant ce théorème la série sera convergente si ses termes ne sont pas infinis, s'ils vont en décroissant et si du premier terme de son reste li„ savoir du terme

les valeurs q»ii correspondent à la plus gi-ande et à la plus petite valeur que peut avoir la quantité