r„^. = '^-^'^-'^■-^^iu^ir= Mic-m-2)^.Ajç

A"+' Fy

Piuscpfici la quantité y, qui est la seule variable, n'entre pas dans (154.), on voit que les conditions de la convergence delà série (151. ou bien 152.) se réduisent à ce que ses termes ne doivent pas être iniuiis, qu'ils doivent aller en décroissant et que T„^j (153.) doit être zéro pour nz= oo.

VI. Ou voit qu'aucun des n premiers termes de la série (151.), ou de la série (152.), n étant fini, n'est infini, les quantités qui y entrent étant supposées finies. Donc la première des conditions de la convergence est remplie. Mais la seconde condition, que les termes doivent aller en décroissant, au moins vers linfiui, sera satisfaite d'elle même si le terme T„^i est zéro pour ns=oo. Donc la recherche de la série (144.) se réduit eu dernière analyse à celle de ce terme, et en vertu de ce tjui a été dit plus haut, il n'y a qu'à voir si

155 T^ - Hk-l)(k-2)....(k-n)

loD. y„+. 2. 3.. ..(« + !) ^ ^^-"^'^

est zéro pour n = oc, ou non.

VU. H y a quatre cas. La quantité x peut être ou zéro, ou + 1,' ou >1, ou entre 0 et 1. Les autres valeurs négatives de x rentrent dans celles-ci, parcequ'il ne s'agit point du signe du terme T„+^.

Premier cas, x = 0, nu. Dans ce cas la formule (152.) donne (1+0)*= 1 et il n'existe point de série.

56 §.26. form 156. — 158. IV. ApjawaUon des formules gcncraUs

Second cas, ar= + I.