IX. .Si dans ce cas k= — 1, l'expression (155.) donne

et on voit que T„j^^ n'est pas zéro pour « = oc. Donc la série (152.) (jid exprime (1±1)~' est divergente.

X. Si k<i — 1, la valeur absolue de 7],^, (155.) est encore plus grande que 1. Donc la série (152.) en exprimant (1±1)~*, k étant >» 1, est encore divergente.

XI. Si /;> — 1, nous aurons la valem* de T„+, pour « == ^c en appliquant à I expression de cette quantité (155.) cette autre en facidtés (57.) savoir

qui a lieu pour j = oo. En effet en mettant dans le numérateur de /"„+,, li :=k, x = — 1 , j=n-^l et dans le dénominateur u = 1 , >- ^ « -j- 1, h = 1, on a

c'est-à-dire

et cela donne 7'„+, = 0 pour /? = cx, A étant supposé > — 1 ou Lien ^-fl>().

D après cela la série (152.) seroit toujours convergente si x= + 1 et /<->> — 1 : mais il y a ici à excepter le cas de (1 — 1)^, si k est >• — 1 et <;0. Car dans ce cas l'autre condition de la convergence de la série, qu'aucim terme ne doit être infini, n'est pas satisfaite, puisque dans ce cas (1 — 1)'" est infiii! lui même. Dojic l'expression de (1 — 1)*^ par la série (152.) n'est convergente que dans le cas où k'^0; celle de (l — 1)^ l'est toujours, k étant >■ — 1.

XII. Il y a encore les cas k = 0. Dans ce cas la série (152.) doiuie (1 + a^)* = 1. Donc on a (1 ± 1)° = 1.

Troisième cas, ar>»l.