sin {1nx-{-x)-= sin x

Les expressions analogues pour les valeurs négatives de x et j se trouvent à l'aide des équations (237. et 238.).

Les expressions présentées dans le paraj^raphe précédent offrent comme on A^oit les princi])ales formules trigonom étriqués ou plutôt gouiomé triques, desquelles on tire sans difficulté les autres de ce genre. Les formules (§. 33. I. jusqu'à VIL) ont été tirées seulement de deux expressions (229. et 230.) et en démontrant ces dernières, le développement de c-^ en série (212.) ne nous a servi que pour faire voir que la quantité «■-"" est composée de deux parties, l'iuie réelle, lautre imaginaire. La forme de la série (212.) n'est pas entrée dans le calcul des expressions (§.33. I...., Vil.). Ce nétoit qu'en (§.33. VIII.) où nous avions besoin des résultats de la recherche des séries (213. et 214.), savoir pour faire voir qu'il existe une valeur de x telle que cosje = sinjr, d'où l'on a tiré les résultats de (§. 33. VIII.).

Au reste les expressions fondamentales de la goniométrie présentées (§. 33.) ont été trouvées par une voie purement analytique. On est parti lie l'expression (212.), qui de son côté est sortie des transformations identiques. Ou n'a eu nulle part recours à la géométrie ni à d'autres théorèmes et idées étrangères à l'analyse. Cela fait voir bien clairement que la théorie des fonctions angulaires n'est nullement du domaine de la géométrie mais purement de celui de l'analyse aussi bien que la théorie des puissances ou des logarithmes. Il est bieu singulier qu'ordinairement on tire de la géométrie la théorie des fonctions angulaires. Ou pourroit procéder également et avec le même droit pour les logarithmes. Mais c'est ce qu'on ne fait pas. Le logaritlnne naturel exprime, comme on sait, l'aire de l'hj-perhole ; c'est pourquoi ou l'appelle logarithme hyperbolique. De l'hyperbole c'est l'aire qui donne le logarithme, du cercle c'est l'arc qui offre les fonctions angidaires. On abandonne, comme il lo

de dtveloppetnent aux fonctions angulaires. J. 35. form. 259. — 262. §1

faut le logarithme à l'analj'se, mais on donne les fonctions angulaires à la géométrie sans la moindre raison. Cela est évidemment contraire à une boiuie méthode. Il est vrai que la géométrie participe aux résultats de la théorie des fonctions angulaires comme à celles des logarithmes. Elle lait voir tpie le logarithme exprime effectivement faire de l'hj-jjerhoie , et c'est à elle de faire voir que si x représente un arc de cercle, les droites qu'on appelle sinus et cosinus dans la géométrie ont les mêmes rapports ù x qu'expriment les équations (213. et 214.). 3Iais pour cela il n'y a pas de raison pour tirer ces relations des théorèmes de la géométrie, ni pour le cercle ni pour l'hyperbole.

Nous tirerons des expressions du (§. 33.) celles des différentes \ aleui's (jue peut avoir une puissance quelconque de l'unité, parcequ'il y aura «juelques remarques à faire, tant sur ces expressions que sur l'effet de la pluralité des vale;irs des puissances.

Elevons ù la puissance w"* les expressions (229. et 230.), nous aurons

rkK.f\ +imx ^+imx r i ■ • \nt

JÔ\i. e~ z=z 1" (cosx + isina:)"'.

Mais si dans les mêmes expressions on écrit mx au lieu de x, ou trouve

260. e-""'* := 1~""'^ [cosmcc^is'mmx). En égalant les deux expressions (259. et 260.) de e-'""" on a

2GI. (cosar + î sinar)"' = cosmx + i siamx).

Si Ion fait x = '2n'n, on a 0080-= 1 et sinx=0 (255.256,). Donc dans ce cas léquation (261.) donne