TT

La valeur de 6 fera donc seulement connaître le produit m^; la valeur de ^ se déduira de la déviation que l’aiguille horisontale ferait éprouver à une autre aiguille, située dans son voisinage et soumise à l’action de la terre.

Imaginons, par exemple, qu'on ait une aiguille d’inclinaison, située dans le plan du méridien magnétique; plaçons au-dessous et dans le même plan, l’aiguille horizontale que nous considérons; supposons que par son action opposée à celle de la terre, elle ramène l’aiguille d’inclinaison à la direction verticale, et qu’alors les deux pôles de celle-ci, et le pôle sud de l’aiguille horizontale, soient dans une même droite verticale. Appelons l, la distance de chaque pôle de l’aiguille d’inclinaison à son point de suspension, et c, la distance de son pôle inférieur au pôle contraire, ou au pôle sud de l’aiguille horizontale : on formera aisément l’équation d’équilibre de l’autre aiguille dans sa direction verticale; quelle que soit son intensité magnétique, on trouvera

On tirera de là

y. = 2mc*;

c étant une ligne d’une longueur connue : par conséquent on aura

7 t’Vc*

Dans chaque cas particulier, les constantes b, n, h, l, A, c et 0 devront être données en nombres; et il s’agira de calculer tous les effets produits sur l’aiguille horizontale par la réaction de la plaque tournante, en employant, toutefois, la grandeur observée d’un ou plusieurs de ces effets, pour déterminer les valeurs des quantités p,p^p^ etc. (n° 3i), relatives à la matière et à la température de la plaque, dont ils dépendront.

gO MEMOIRE SUR LA THEORIE

( 36 j Si l’on appelle P l’action verticale de la plaque sur les deux pôles de l’aiguille, qui ont, dans ce sens, la même ordonnée h , on aura

Ce sera la diminution ou l’augmentation apparente du poids de l’aiguille, selon que cette valeur de P sera positive ou négative.

De même, en désignant par w la somme des moments des forces provenant de l’action de la plaque, qui tendent à faire tourner l’aiguille autour de Taxe vertical mené par son point de suspension, et à augmenter l’angle nous aurons

4 dy

Par conséquent l’équation complète de son mouvement horizontal, sera

dt a

=— 2 m p. / sin. ^ y.

Il s’agira donc de former les valeurs de P et d’après celle de Q qui est donnée par l’équation (À*) ; et comme on ne doit différentier que par rapport aux variables h et qui sont comprises dans U x et U a on aura

i/fcor

8 rc dt^

Stz dtj

i (^— d -J^') V ^—g z ')\ rdrdu ) e 2 dz.j

Quoique nous ayons fait passer en dehors des signes j*, la

différentiation relative à t, il faudra, cependant, ne pas faire varier le temps qui entre dans IJ, et U, ; c’est pourquoi, nous le désignerons par t', avant cette différentiation, de sorte que U, et U 3 seront les valeurs de V qui répondent à x—b et x= — b, et l’une et l’autre à t=V.

D’après ce que représentent F* et F' t (n° 3 i), nous aurons

dV, , dip dV^ __ p ,

dh dh — * ’ dh dh * 1 '

En faisant usage de la valeur de V, il vient

F t =[a(Â — b) — &,r,/,cos. v) — f z (b — &,/*, /, •- cos.'u)]

(x {h + b) [y 3 (h+b,r,l, cos. v) —y 3 (h -+- b , r, 7 , — cos. v)],

F r t=^{h — b)lf 3 (h — b, r,/,cos. v) — f*(h— b,r,l,-~ cos.^)]

—5 x(h -hè)[/ J (A + b } r,l,cos.v )—/ 3 (A + — cos.?;)],

= {x r /sin. v ' [y 3 b /, ces V X-feyfë (A b —*cos. v ' )],

=35^ r l sin. 4 / { f±(h Hh b , r , /; cos. **'•) +y 3 (A H- &, r, /, — cos. v ' )J ;

v' étant ce que djevient l’angle v quand on y change t en t'. Au moyen de ces différentes valeurs, on peut effectuer les intégrations relatives à r et u qui sont indiquées dans les équations ( m ).

(37) Pour cela, soit généralement

[(P 4- 1'-\- r’ — 2 r I cos; (u Hh + r *— 2 r l cos. (m -

îfr ^014, «t) , ; » p. !. , fl 7 , N

3 — Ç ^ Ai , ni J ,

- 2 r/cos. (w 4- «)) (*' * + /*+ r 2 — arlàbs. (u y?

k, k', 1 , b) et (û' étant des quantités indépendantes de r et u. En prenant h — b et h 4- b pour k et k* , et des valeurs convenables pour les angles &> et &>', l’intégrale relative à r et u comprise dans la première équation (ni) , se composera de parties telles que :

et celle que renferme la seconde équation (m), de parties telles que :

Faisons d’abord

u 4 - 7(0) 4- &>') = u ' , du = du' ;

nous aurons

cos.(& 4 - (ù)= cos. u'cos.~((ù —w')—sin.w'sin^w—</), cos.(w 4- a>') = cos. u'eos.±(b> — a>') 4 - sin.sin.7 (w — w ');

et les limites relatives à u' seront toujours u'=o et w'=üx. Soit ensuite

rsin.w'=/, rcos.u' —y', et, pour abréger,

/sin.-j^W-(«) , )=a î /COS. 7(0)-ü) / )=a , J

nous aurons en même temps

rdrdu’ = dy dy' ;

les limites relatives aux nouvelles variables / et y 'seront ±00 , et il en résultera

9 (k,n=fr - kj L d I d lL -

oo - 00 [(k*-t- 1 '+y 'a. — — 2ja — 27'a')] »

9 '(A*,^)=/' 00 ^ *)dyd r >

J-<x>J-cc[(k' + /»+7’ +y’ -f- V a “ *S<) (^M- ^ 4 -r /a — 27 a—a')] T

Mettons 7' + a' à la place de y ; les limites relatives ky' ne changeront pas , et nous aurons plus simplement

“ 00 “ 00 P* + al +7* +S ,a + 271a) (*'•■+ a’ +-7’ +7'* — 2^a)]T

? '(M') = / r **'{y—*)djrdy' .

-00- -00 [(^’-ha a + - r 1 H-r' a + 2jKa)(^ a + a ï H-^ a +7'*— ; a^a)] r

011 a supprimé la partie de la seconde intégrale qui contiendrait la première puissance de y' et .dont les éléments seraient, deux à deux, égaux et de signes contraires entre les limites y ’ = db 00 .

D après 1 expression de 9 (k, À*'), on voit que la partie de cette intégrale qui répond aux y négatives, sera la meme que la partie de <p(A',A) relative aux y positives, et vice versa.

On aura donc

ce qui fera disparaître dans l’intégrale que contient la première équation (m ), les termes de la forme : ?(*',*),

et ne laissera subsister que ceux de la forme : <p {k , A*) — «p (À' , h') , pour lesquels on aura

J - « 1J -»[(**+«• +f +/' 1 f-ASy*)-

Dans le cas de k' = k, nous aurons