KM

ka.’ydydy

oo [(^ + a 3 4 -/ 2 +y 2 ) a —4a 2 j 2

Cette dernière intégrale est nulle, comme étant composée d’éléments, deux à deux, égaux et de signes contraires entre les limites y— ±oo ; il en résultera donc

- aa'(î^-£M).

Lorsque les constantes k et k' seront différentes, on ne pourra pas obtenir sous forme finie la valeur de l’intégrale <p(k, k '); mais si l’on prend, comme il a été dit,

pour les valeurs de k et k\ et que l’on développe suivant les puissances de b, on obtiendra une série très-convergente, dont nous ne conserverons que les deux premiers termes ; ce qui donnera :

en faisant, pour abréger}

h'fdydy' ___

[(A a + a a -hr a +/ 2 ) a -4«V'p ’

et supprimant une intégrale dont les éléments se détruisent deux à deux entre les limites y= ±oo . La valeur de<p'(Æ',Æ)

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. g5

se déduira de celle de <p '(A*, k '), en y changeant le signe de b; on aura ensuite

9 \k,k')~ 9 \k\k)^^p- ? (h, h) —a4£aa'H.

( 38 ) La question est ainsi réduite à trouver les valeurs des intégrales 9 (k,k) et H, lesquelles deviendront

7 7A Z' 00 /' 2TC k'rdrdu

J o ^o^[(/P + a a H-r a ) a —4a a r a cos. a M ]T

H r™ Ç h*r 3 cos 2 udrdu

J o Jo [(^ a H-a a 4-r a ) a — 4a a r*cos. 2 u] v

en y faisant

y=rcos.M, y = rain.u, dydÿ — rdrdu,

et observant que les limites relatives à r et u seront r= o et r— 00, u — o et m = 2x, comme précédemment.

Si nous faisons, pour un moment,

nous aurons

k 2 rdrdu

J o J o [r 4 -|-2 (a* 2 a a cos. a u) r a -f-a 4 ] *

6 rf.a a *

Par les règles ordinaires, l’intégration relative à r, et ensuite celle qui répond à u, s’effectuent sous forme finie, et l’on a

,, r du

P1 *) — 4 a *J q a 2 —a a cos. a u~ 2a 3

ou bien , en remettant pour a et a leurs valeurs,

a / a sin.*-j(<ô — *

a 4 ^ (4 a + / a sin. a 7(o> — o'))^

(39) D’après ces valeurs, si nous réunissons les formules relatives aux fonctions <p et 9' qui devront servir à former par parties les valeurs des intégrales contenues dans les équations (m), et que nous négligions partout le carré et lçs puissances supérieures de b , nous aurons ces quatre équations :

(h? 1 2 sin. a Ÿ

,in. a A 7 ' A a + rsin.’^(u —

a (h? -\-l* sin. a 7( u — ©')) *

Cela posé, soient ce que devient quand on y

met t ’, £— gz, t — g'z, à la place de t; prenons successivement nt '— Yt nt ' —tJ' +TC, pour w'j/zf — n gz

nt — ng'z —et ces valeurs augmentées de w, pour w ; en faisant, pour abréger,

nous trouverons que les équations ( m ) deviennent :

P — 3 \L'bp d . /*” r- I/3 JP \

4 dt Jo L(4*.+-/*sin.*y)r \ h'+î'sin.'i)

! £ f l - . Zh \ \ i (. 34 *

(4 a 4-/’sin.’y')T ^ h' + l'sm.yj (A* + /*cos.*y)^ ^*4-/*cos. a y

- 1 -T 0- W/ ■ ■ )] °~ Z dz,

(*■+;■ cos.- T ')- V ^ +1 COS. 1 J\

9 \L'bl'hpd. r x r sin. 2 y sin. a y'

8 rft -'o l(A- + /*sin.» T )f + (A- + /- s in. a r ')T

. sin - 2 y . sin. 2 y' n — z 7

H - 1 -? +- 1 -3 I e dz.

(h'-\-P cos. a v) T ('4*4 -/’cos.*y0 * -1

w — 9 V-'bl'hp d.

e dz.

Ces résultats pourront s’écrire plus simplement de cette

p 3 y.'bp d\ r°° p ! I

4 dtdhJ Q [(*» + /* sin .» r )f + (4 a 4- / a sin.* y') T

---i-—-,1 he z dz,

( 4 * 4 -/* cos.* y) T ( 4 a -h r cos. a y') * J

cos.* y) T (4 a 4- / 2 cos. a y') * J

\J/ .^t* V dK Z * 00 r I __I

* dtdhd VJ 0 W + rsin.- Y )T (A a + /’sin.’ÿ')"^

- 1 -r- - - r l e~"“‘dz.

(4* 4 - / a cos.*y) a (4 a 4- P cos.*y') a J /

On se souviendra que l’on doit faire /'=/, après la différentiation relative à t ; et pour employer ces formules, il faudra les développer suivant les puissances de g et g\ que l’on remplacera ensuite par les quantités g„g„g„ etc. ,gUg;,gï, etc., du n° 3 i.