S MÉMOIRE SUR LA THEORIE

( 4 o) Lorsque la direction de l’aiguille aimantée sera telle, si cela est possible, que l’action de la terre et celle de la plaque tournante se fassent équilibre, l’angle sera constant, et en appelant & sa valeur inconnue, on aura En mettant € et 6' à la place de t — t' et <j/ — &, dans les valeurs de y et y', elles deviendront

Y =t0 6 — ngz + g'), y •== 2 ' I (nÇ. — ng'z+e');

les différentiations par rapport à t et <|> ' s’opéreront sur g et é ', etaprès les avoir effectuées,on fera ê = o, g'=.o. La valeur de£ s’obtiendra en égalant à zéro le second membre de l’équation (/), en sorte que l’on aura

3 \J-bp

4ml dhd&d%‘

(A a /* cos.’y) * (h

** o L(A* -h /* sin. a y) * (h* 4- sin^y 7 ) »

—-ri e~ z dz.

l % COS/* y') * J

Cette valeur de sin.à ne renfermant pas le temps t , il en résulte que l’équilibre de l’aiguille sera effectivement possible, toutes les fois quelle ne surpassera pas l’unité. L’angle £ sera, dans cet état, la déviation de l’aiguille à partir du méridien magnétique; et l’on voit que son sinus sera proportionnel à la*quantité (a, ou à l’intensité magnétique de l’aiguille, ce qui tient à ce que cette déviation est l’effet de la réaction de la plaque aimantée par l’influence des pôles de l’aiguille. En déterminant la valeur de n, au moyen de l’équation sin. è= r, on aura la limite de vitesse au-delà de laquelle 1 action de la plaque tournante fera prendre à l’aiguille un mouvement continu.

La condition sin. £< i étant remplie, la première équation (h) fera connaître la diminution apparente du poids de l’aiguille dans sa position stationnaire, en y mettant pour y et y leurs valeurs précédentes. En développant, comme il vient d’être dit, les valeurs correspondantes de sin.à et P par rapport à g et g-',et effectuant les intégrations relatives à z, la valeur de sin.£ se trouvera exprimée par une série ordonnée suivant les puissances impaires de la vitesse n, et celle de P, par une série qui proce'dera suivant les puissances paires et commencera par le carré. Si l’on s’arrête aux deux premiers termes de la première , et que l’on ne conserve que le premier de la seconde ; que d’ailleurs on ait égard aux valeurs de [x* et 2 ni y. du n° 35 , et que l’on substitue pour les puissances g-, les quantités g\ , g\ , du

n° 3 i, on trouve

o7c % blc*\*r (4A a —/ a )A 5 N f ,

Des expériences qui m’ont été communiquées par M. Arago, montrent que le terme proportionnel à la vitesse n dans la valeur de sin. en est la partie principale. La déviation de l’aiguille ayant toujours lieu, d’après l’observation, dans le même sens que le mouvement de la plaque, il faut que ce terme soit positif, et que la quantité p soit par conséquent positive. Relativement aux variations de $ dues à celles de la

IOO

vitesse n, ces expériences sont représentées avec une grande exactitude par les deux premiers termes de la série qui représente sin. $, c’est-à-dire, par une expression de cette forme :

sin.à =an — a ';

a et a étant des quantités positives, indépendantes de n , et dont la seconde est peu considérable eu égard à la première. Cela fait voir combien cette série est rapidement convergente , lors même que la vitesse n est très-grande, comme dans ces expériences où la plaque faisait depuis cinq jusqu’à quinze tours par seconde. Mais si l’on veut comparer sous d’autres rapports, l’expression du sin.à à l’observation, il ne faudra pas perdre de vue les conditions quelles supposent, et qui n’étaient pas suffisamment remplies dans les expériences citées : il est nécessaire que les pôles de l’aiguille soient très-éloignés des bords de la plaque ; que b soit trèspetit, un ou deux centièmes, par exemple, par rapport à son rayon et à h; et que cette distance h soit assez grande relativement à la distance de chaque pôle à l’extrémité correspondante de l’aiguille (n° 34).

Quant au poids P, on peut s’assurer a priori qu’il sera généralement une très-petite partie de celui de l’aiguille. En effet, en appelant celui-ci n ; désignant par f l’espace qu’un corps pesant parcourrait dans le vide, pendant la durée 9 d’une oscillation de l’aiguille; supposant quelle soit prismatique, et ses dimensions eu largeur et épaisseur très*petites par rapport à sa longueur, nous aurons

IOI

d’oü il resuite que le rapport de P à TI aura y pour facteur;

quantité qui sera très-petite dans toutes les expériences que l’on pourra faire. Les effets de la force verticale, dont la théorie a indiqué l’existence, ne seront bien sensibles que dans les déviations de l’aiguille d’inclinaison que nous considérerons bientôt.

(40 Pour effectuer le développement de la quantité ¥ suivant les puissances de g et g*', lorsque l’aiguille sera en mouvement, il faudra d’abord développer les fonctions £ et de t—gz et t—g z quelle renferme , ce qui donnera

Le premier terme du développement de Y sera de la forme :

H étant une quantité indépendante de t et de n. Les autres termes renfermeront les différentielles de ^ des ordres supérieurs; mais à cause que la série est, en général, très-convergente , d’après ce qu’on vient de dire, on pourra calculer la valeur de en fonction de t, par des approximations successives et en intégrant seulement des équations du second ordre. Après avoir mis dans l’équation (/) a la place de TF son premier terme, on en déduira une première valeur approchée de ^ ; on la substituera dans le second terme de Y, au moyen duquel et de l’équation (/), on déterminera une

seconde valeur de ^ , que 1 on substituera ensuite dans le troisième terme de Y; et ainsi de suite alternativement. Nous nous bornerons à considérer la valeur de +, dépendante du premier terme de T, laquelle sera donnée par l’équation :

Quand l’épaisseur de la plaque sera très-petite par rapport a la distance de 1 aiguille, ainsi que nous l’avons suppose jusqu ici, le coefficient H sera une quantité connue; on aura alors

Mais lors même que cette condition ne serait pas remplie, le premier terme du développement de T aura toujours la même forme , et l’équation ( o ) subsistera quelle que soit l’épaisseur de la plaque, pourvu que ses bords continuent d’être très-éloignés des pôles de l’aiguille. Dans le cas général, H sera une quantité inconnue que l’on déterminera par la déviation observée de l’aiguille, correspondante à une vitesse donnée de la plaque ; l’équation (o) fera ensuite connaître le mouvement de la meme aiguille, à la même distance de la même plaque.

Supposons, par exemple, que la vitesse de la plaque étant n', la déviation de l’aiguille stationnaire soit on devra

donc satisfaire à lequation ( o ), en faisant à la fois ^ = o ,

, dt '

+ =^0 , n—n \; d’où l’on conclura

DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. lo3

Par conséquent, l’aiguille étant en mouvement, et la plaque tournant avec une vitesse n , cette équation deviendra

Soit £ la déviation de l’aiguille dans sa position d’équilibre , lorsque la vitesse de la plaque est n; supposons qu’on ait écarté l’aiguille un tant soit peu de cette position, et qu’au bout du temps t, on ait

« étant une variable très-petite dont nous ne conserverons que la première puissance : en observant, en outre, que l’équation (/?) doit subsister quand c =o , nous aurons

d '8 Tf’sin. 8' dt ir*cos. &

dt 1 0*/i' dt~^~ 0* 6 °*

Si l’on fait, pour abréger,

. / N SID . 3 y

v cos. o --;—rr-r-

et que l’on représente par c et c' deux constantes arbitraires, l’intégrale complète de cette équation linéaire, sera

Tc’sin.

- t / 7c t . ■ tc t\

t=e 2 ( c cos.-p -t- c'sin.-jp ) ;

e étant la base des logarithmes népériens.

Pour déterminer ces constantes, nous supposerons qu’on ait e = a, ^ = o, quand £=o; la valeur de e à un instant

quelconque deviendra

r’sin.à' . N

-5-— j-t f rtt îrQsin. $' • ic£\

! = ae 29 " ( cos -F + ^r sin -F>

A la fin de chaque oscillation, on aura ~A=o , ou

siû. i r = o;

les oscillations seront donc isochrones, et G' sera la durée de chaque oscillation entière. Or, à moins que £ n’approche beaucoup de l’angle droit, la valeur de G’ se-réduit à très-peu près à

il s’ensuit donc que la durée des oscillations n’est pas altérée sensiblement par l’action de la plaque, et qu’elle est la même que si l’aiguille oscillait en vertu de la seule action de la terre, de part et d’autre de la direction qui répond à l’angle & ; ce qui est conforme à l’expérience.

11 n’en est pas de même à l’égard de leur amplitude : si l’on appelle a., l’amplitude de la demi - oscillation dont le

rang est marqué par zi, ou qui s’achève au bout de temps t = i G', on aura

77* i sin. & '

OL.= o.e 2 n'ü l/cos. ’

d’où il résulte que les amplitudes successives diminueront continuellement; ce qui est aussi conforme à l’observation. Elles formeront une progression géométrique, dans laquelle les termes décroîtront plus rapidement à mesure que la vitesse n dei la plaque augmentera et fera croître l’angle Si

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. Io5

la plaque est en repos, et que l’aiguille oscille en conséquence de part et d’autre du méridien magnétique, on aura £ = o, et

/sin.

oq. = ae 2 n'Q #

Dans le cas de *==i, on pourra développer l’exponentielle en série, et s’arrêter au second terme à cause de la petitesse de l’exposant; il en résultera

oc if* sin.£'

pour la petite différence de la première à la seconde demioscillation. On peut déterminer cette diminution, sans supposer très-petit, comme nous l’avons fait, l’angle a dont l’aiguille a été écartée du méridien, et en admettant seulement quelle soit une très-petite partie de cet angle.

(42) Pour cela faisons n — o dans l’équation Qp); multiplions les deux membres par 2puis intégrons de manière qu’on ait ^|=o quand t= o; nous aurons

(cos. ^— cos. a) —

l’intégrale j commençant avec t. Puisqu’on suppose l’ef-

fet produit par l’action de la plaque, très-peu considérable pendant la première oscillation, on peut, dans une première approximation, négliger le terme qui renferme cette intégrale : on en conclura alors

Dans une seconde approximation, on substituera cette va-

io6

leur de dt sous ligne J ; et l’équation précédente deviendra

dt r= TF~ ( C0S * ^ ““ C0S ' a ) \ V~) ^ - COsT Oldty.

A la fin de la première oscillation, on aura a^ = o et <|>=—a,; l’intégrale devra s’étendre depuis t|; = a jusqu’à <]> = — a,, ou depuis <j/=a jusqu’à <|/=— a, à cause que a, diffère peu de a par hypothèse; ou bien encore depuis ^ = o jusqu’à + = a, en changeant le signe de l’intégrale et la multipliant par 2; par conséquent nous aurons

2iri/ a sin.&' /' a , --.-

COS. a, COS.a =- ^—7 - J \s cos.<J> — cos. a Cl ^.

En résolvant cette équation par approximation, et négligeant le carré de son second membre, il vient

27T j/ a sin. Vr* y - T

6 ü'sin. a J ^ cos ^

»s. a dty.

Il serait facile de vérifier ce résultat par l’expérience, en prenant pour a un grand angle, et plaçant l’aiguille à une assez grande distance de la plaque pour que la diminution d’amplitude, dans une seule oscillation, ne soit que d’un petit nombre de degrés, abstraction faite de celle qui est due à la résistance de l’air. En mettant successivement, dans cette formule, a 0 a,, etc. , à la place de a, on calculera, de proche en proche, les amplitudes des demi-oscillations ascendantes, jusqu’à ce quelles soient insensibles. Lorsqu’elles seront devenues très-petites, et qu’on négligera le carré et les puissances supérieures de a, la formule se réduira à

2 7 T sin. y r a -- , tt* sin. 8'

ce qui coïncide avec le résultat du n° précédent.

DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. IOy

(43) L’aiguille étant toujours parallèle à la plaque, si la plaque , au lieu d’être horizontale, était perpendiculaire à la direction du magnétisme terrestre, il faudrait supprimer dans toutes les formules précédentes, les termes relatifs à l’action de la terre, dont l’aiguille serait alors indépendante. L’équation (p) se réduirait donc à celle-ci :

d'\ J/ Tw’sin. 8'

dt % O 5 »' \ dtj’

8' désignant toujours la déviation de l’aiguille due à la vitesse n' de la plaque, dans la position horizontale du système. En l’intégrant une première fois, et supposant la vitesse initiale de l’aiguille égale à zéro, il vient

dl = n ('-e )i

ce qui montre déjà que la vitesse de l’aiguille approchëra de plus en plus d’être constante et égale à celle de la plaque. Si Ton intègre une seconde fois, et que l’on compte l’angle à partir de la position initiale de l’aiguille, on aura

^=z7lt

ir* SÎD.

Supposons qu’on ait marqué par un trait, la projection de l’aiguille sur la plaque avant que le mouvement ait commencé; que l’on marque par un autre trait, cette projection à l’époque où la vitesse de l’aiguille est sensiblement égale à celle de la plaque; et que l’on désigne par 8, la quantité angulaire dont le second trait se trouvera en arrière du premier par rapport au sens de la rotation, on aura, d’après cette équation,

Iû8 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

La vitesse de l’aiguille ayant atteint celle de la plaque, si celle-ci devient tout-à-coup immobile, l’aiguille ne s’arrêtera pas immédiatement, mais son mouvement changera de nature. L’équation différentielle dont il dépendra se déduira de la précédente, en y faisant n= o, ce qui la réduit à

d* <]/ 7?*sin. 8' d

dt * 0 a n' dt

On déterminera les deux constantes arbitraires de son intégrale, de manière qu’on ait ÿ = n, + = o, quand £=o, en

comptant le temps t à partir de l’instant où la plaque s’est arrêtée, et l’angle à partir de la projection de l’aiguille au même instant. De cette manière, on aura, pendant toute la durée du second mouvement de l’aiguille :

7r a sin. y

Tt = ne ~ '

T x’ sm. 8 \

d’où l’on conclutqu’abstraction faite de la résistance de l’air, la vitesse de l’aiguille diminuera continuellement, en vertu de 1 action de la plaque, jusqu’à ce quelle soit devenue sensiblement nulle, et qu’à cette époque, on aura

nn'Q* it 3 sin. 8'

c’est-à-dire qu’à la fin du second mouvement, la projection de l’aiguille répondra sur la plaque, au même trait qu’au commencement du premier ; ce qui ne pourrait toutefois se vérifier que dans le vide.