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Action d'une plaque tournante sur une aiguille inclinée .

(44) La plaque est la même que précédemment (n°25). On place au-dessus une aiguille d’inclinaison ; et dans la vue de simplifier la question, on suppose le pôle sud assez élevé pour qu’on puisse négliger l’action mutuelle de ce point et de la plaque, et n’avoir égard qu’au pôle nord qui est le plus abaissé dans nos climats. Ce dernier point sera d’ailleurs très-éloigné des bords de la plaque, dont il n’éprouvera aucune action sensible. Soit y son ordonnée verticale, a sa distance à l’axe des x , et € l’angle que fait le plan de ce point et de l’axe des x avec celui des x,z. Au bout du temps t, le carré de la distance p comprise entre ce même point et celui de la plaque qui répond aux trois variables x, r et u , sera

p* = (y Xy - 4 - r* 2 Ta cos .(nt + U 6) -4- a 2 .

La différence des deux quantités U et V, provenant de l’action de la terre sur la plaque, disparaîtrait, comme nous l’avons déjà dit (n° 34), dans les différences partielles delà fonction Q relative à une plaque d’une étendue indéfinie ; c’est pourquoi nous regarderons U et V comme égales ; et si nous désignons par — p/ la quantité de fluide austral , réunie au pôle que nous considérons ; que nous posions

et que nous fassions usage de la notation du n° aô, nous

aurons

U = V=—a, cos.-y).

Ce sont ces valeurs égales de U et de V qu’il faudra substituer dans l’expression de Q donnée par l’équation (Æ). Les différences partielles de cette quantité prises par rapport aux coordonnées y, a, 6, introduites par la substitution de U, feront connaître les composantes de l’action de la plaque sur le pôle nord ; mais nous supposerons que le plan dans lequel l’aiguille peut tourner, soit vertical et passe par le centre de rotation de la plaque : la force dépendante de la différence partielle de Q relative à g, étant perpendiculaire à ce plan, sera détruite, et nous serons dispensés d’y avoir égard.

Pendant le mouvement de l’aiguille, l’angle g restera constant et représentera l’azimuth de son plan de rotation, compté du méridien magnétique, et du sud au nord. Les deux autres coordonnées a et y du pôle nord , varieront avec le temps; et si nous désignons par h l’ordonnée verticale du point de suspension de l'aiguille, par h' sa distance à Taxe des a?, par V la distance du pôle nord à ce point, et par -/] l’angle compris , au bout du temps t , entre la partie de l’aiguille qui aboutit à ce pôle et la perpendiculaire abaissée du point de suspension sur la plaque, nous aurons

y = h —/'cos.n, oL = h' —/'sin.yj;

ce qui suppose que l’on regarde l’angle n comme positif ou comme négatif, selon que le pôle noM de l’aiguille, comparé à son point de suspension, se trouve plus rapproché ou plus éloigné de l’axe des x.

Afin de n’avoir pas à considérer l’action de la pesanteur,

nous supposerons enfin que l’axe de rotation de l’aiguille passe par son centre de gravité, qui sera de plus également éloigné de ses deux pôles.

(45) Pour former d’après ces données l’équation du mouvement de l’aiguille, désignons par il le moment rapporté à son axe de rotation, de l’action de la plaque sur son pôle nord; par y! 1 le moment d’inertie de l’aiguille relatif au même axe; par m et m' deux constantes positives, telles que m\j.’ et m' soient, abstraction faite du signe, les composantes horizontale et verticale de l’action de la terre sur chacun des pôles de l’aiguille : l’équation demandée sera

TF

= — 2 l'p'(m' sin. y) — ni cos. 6 cos.yi) -f- iî.

Soit encore i la valeur de v\ relative à la position d’équilibre de l’aiguille, soumise à la seule action de la terre, c’est-àdire, le complément de l’inclinaison magnétique qui répond à l’azimut 6, dans le lieu et à l’instant de l’observation ; et soit ô' la durée correspondante de ses petites oscillations.

Nous aurons

m' sin.f — m cos. 6 cos. i = o, a V (/ ( m ' cos. i m cos. ê sin. i ) == ~ttt

d’oii l’on tire

, , 7U*V a COS. |