III-d^ dx ' d ï d u

En ajoutant ces trois équations, et faisant, pour abréger,

d\- dd\-

dx' + dy ^ dz • ~ 1

il vient

ffjPxdx'd/dz' = Jj - COS. COS./ r -h —ÿ— COS. I'

Soit i l’angle compris entre le prolongement du rayon p mené du point M dont les coordonnées sont x, y, z, au point de la surface qui répond aux coordonnées x, y', z\ et la partie extérieure de la normale en ce dernier point ; nous aurons

cos. £=-- x cos. I -h cos l' IZZl cos. I" .

DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. ai

Concevons un cône qui ait son sommet au point M, et soit circonscrit à l’élément du de la surface; puis une sphère décrite du point M avec un rayon égal à 1 unité. Soit r/ô, 1 élément Intercepté par ce cône sur la surface de cette sphère; on aura

cos. i du— ± p* JG,

en prenant le signe supérieur ou l’inférieur, selon que l’angle i sera aigu ou obtus. Donc, avec cette attention, l’équation précédente prendra la forme :

ffj R dx'dy' dz'=ff(^)d<r,

et l’intégrale double ne se rapportera plus qu’a la surface sphérique, quelle que soit la forme du corps auquel répond l’intégrale triple.

Or, si le point M est en dehors du corps, et que l’on circonscrive à sa surface, un cône qui ait son sommet à ce point, elle sera partagée par la ligne de contact, en deux parties, telles que l’angle i sera obtus dans toute la partie située du côté du sommet, et aigu dans toute la partie opposée; appelant donc 0 la portion de la surface sphérique, interceptée par ce cône, l’intégrale double aura pour valeur ■+■ O dans la première partie, et —0 dans la seconde ; par conséquent l’intégrale entière sera nulle, et l’on aura dans ce premier cas :

JJJ'Rdx'dy'dz' — o.

Si le point M se trouve sur la surface du corps que nous considérons, le cône se changera en un plan ; la première partie de cette surface disparaîtra; la quantité 0 sera la moitié de la surface sphérique, ou égale désignant

a 1 ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre;

dans ce second cas, nous aurons donc :

füdx' dy' dz = — 2 r.

f/fr

Enlin, si le point M est situe' dans l’intérieur de ce corps, l’angle i sera aigu dans toute l’étendue de la surface; d’où il résultera que l’on aura dans ce troisième et dernier cas :

J JJKdx’ dy 1 dz 1 = — 4^.

En effectuant les différentiations relatives ax, y, z, qui sont indiquées dans l’expression de R, on trouve cette quantité nulle, excepté dans le cas où le dénominateur p 5 devient égal à zéro ; et cette exception n’ayant pas lieu quand le point M est extérieur, c’est pour cela que l’intégrale

fjjRdx'dy’ dz' est alors égale à zéro. D’après cette considération, on peut donner une plus grande extension aux résultats précédents.

En effet, soit k' une fonction donnée de x, y, z, et k ce quelle devient lorsqu’on fait x'==x, y =y, z'=z. Soit ensuite

‘k 1 doc’ dy'dz'

En différentiant sous les signes d’intégrations par rapport à x, y, z, on en conclura

JJJ'Rk'dx'dfdz' = ~

d'\ d ’Y dy dz*

Quand le point M ne fera pas partie du volume auquel répond l’intégrale triple, cette intégrale sera nulle à cause de R—o dans toute son étendue. Lorsque M sera situé dans l’intérieur ou à la surface de ce volume, on le partagera arbitrai-

rement en deux portions : pour celle dont M ne fera pas partie, l’intégrale sera encore égale à zéro; quant à l’autre, nous la supposerons assez petite pour que k' ne varie pas sensiblement, et qu’on puisse prendre k' == k dans toute son étendue ; d’où il résultera

jÿjRk'dx'dy dz' =kJJjRdx dydz ;

la seconde intégrale s’étendant à la portion de volume qui comprend le point M. Donc, d’après ce qui précède, nous aurons enfin :

dx* dy %

d'\ dz 9

— — Q.kiz ,

selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l’on considère. Les géomètres ont remarqué le premier cas depuis long-temps; j’ai été conduit à la troisième valeur, il y a plusieurs années, par une analyse moins directe que la précédente ; j’y joins maintenant la seconde ; ce qui ne laissera plus rien à désirer touchant cette équation, dont on connaît l’importance dans un grand nombre de questions, et qui nous sera bientôt utile.

(8) Après cette digression, cherchons les équations d’où dépendent les inconnues a, */, qui entrent dans la quantité Q.

Ainsi qu’il a été dit au commencement de ce Mémoire,nous supposerons la force coercitive, nulle ou insensible dans la matière du corps A dont nous nous occupons. Il en résulte que dès qu’une force donnée commencera d’agir sur un de ses éléments magnétiques, les deux fluides s’y mouvront jusqu’à ce que l’élément soit parvenu à un état dans lequel son action sur chacun de ses points fasse équilibre à la force

extérieure. L’état magnétique d’un élément de forme déterminée, et par suite les trois intégrales a', 6', y', du n° 2, dépendront à chaque instant de l’action exercée jusque là par la force donnée, c’est-à-dire, du temps et des composantes de cette force, que nous supposerons d’abord constantes, et que nous représenterons par E, E',E", relativement aux trois axes rectangulaires auxquels répondent a', 6', y'. D’ailleurs ces quantités a', ê', y', devant varier d’un système d’axes à un autre, suivant les mêmes lois que les composantes de la force donnée (n° 4 du premier Mémoire), elles ne sauraient être que des fonctions linéaires de E, E', E" ; et comme elles seront nulles en même temps que ces forces, on aura, dans le cas le plus général :

«'=aE + bE' c E", ê'=fl'E + b' E'h- c'E", y' = a"E - 4 - b" E' + c" E";

les coefficients a, b, etc., étant indépendants de E, E', E". Ils varieront avec le temps pendant que les deux fluides seront en mouvement dans l’intérieur de l’élément magnétique, et parviendront à des valeurs fixes lorsque les deux fluides seront arrivés à l’état d’équilibre. S’il s’agit d’un élément isolé , ils dépendront en outre de sa formeet desa situation eu égard à la direction de la force extérieure ; mais il n’en sera plus de même si nous prenons, d’après le n° 2, les moyennes de leurs valeurs relatives à tous les éléments compris dans un volume v, qui soit à la fois très-grand par rapport au volume de chaque élément, et très-petit relativement au volume entier de A; et dans ce cas, les seconds membres des équations précédentes se réduiront chacun à un seul

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. ü5

terme dont le coefficient ne dépendra plus de la forme des éléments.

En effet, j’ai remarqué, il est vrai, dans le préambule du premier Mémoire, qu’il pourrait arriver que l’action magnétique d’un corps aimanté par influence, surtout s’il s’agissait d’un corps cristallisé, dépendît d’une disposition régulière de ses éléments, et que, toutes choses d’ailleurs égales, elle ne fût pas la même en tout sens ; mais nous exclurons ce cas singulier qui ne s’est pas encore présenté à l’observation, et nous admettrons qu’il n’a pas lieu non plus pour toute partie v de A, très-grande par rapport à chacun de ses éléments. Gela posé, si cette partie de A agit, comme dans le n° 3 , sur un point M qui n’en soit pas très-rapproché, et que M soit situé sur la direction de la force qui sollicite les éléments de v, il est évident que l’action de v sur M devra s’exercer selon cette même direction ; si donc on prend l’axe des x, par exemple, dans cette direction, auquel cas on aura E'=o, E"=o, il faudra que les deux composantes x' et de l’action de v sur M soient aussi égales à zéro ; or, en faisant y 1 =y,z =z, dans les équations (2), afin que le point M soit sur l’axe des #, et y mettant à la place de A 3 , on trouve

2 k' va.'

on aura donc 6'=o,y'=o, en même temps que E' = o, E"=o; ce qui exige qu’on ait <z' = o et a"=o. En faisant coïncider successivement les axes des y et des z avec la direction de la force donnée, on prouvera de même que l’on doit aussi avoir bz= 0 et &" = o, c=o et c' = o; il ne 1823. 4

restera donc plus que les trois coefficients a, b ' et c" qui devront être égaux entre eux, pour que a', g', y', conservent la même relation avec les composantes de la force extérieure, quels que soient les axes des 3c\ÿ, z'. Ainsi, les formules précédentes se réduiront simplement à

a'=ûE, Ç'=aE\ y' = flE".

Cette réduction aurait lieu pour chaque élément isolé, et pourrait être regardée comme évidente, si tous les éléments magnétiques de A étaient des sphères de rayons égaux ou inégaux; mais il était bon de rendre nos calculs indépendants de cette hypothèse particulière.

(g) S’il s’agit des quantités a, g, 7, relatives à l’élément auquel appartient le point M de A, dont sont les

coordonnées, les composantes de la force extérieure que nous venons de représenter en général par E, E', E", auront pour valeurs les seconds membres des équations (4), abstraction faite des termese,e', e". On y pourra, en outre, omettre 8, et considérer a, g, y, comme dépendantes, en dé¬

finitive, de la forme de B et des composantes exprimées par les différences partielles de Y et de Q', que nous appellerons T, T', T", en sorte qu’on ait

dJl

dx y

djr

dj 1

Cela est évident, en effet, si l’on observe que les forces provenant des éléments voisins de celui que l’on considère,

ne peuvent non plus dépendre que de la forme arbitraire de B et de ces forces T, T', r f ,/ . Do plus, nous prendrons pour B une sphère qui ait son centre au point M, ce qui sera toujours possible, excepté dans le cas que nous exclurons, où M ferait partie de la surface de A, ou en serait à une distance insensible. De cette manière, on verra que les valeurs de a, 6, y, se réduiront encore chacune à un seul terme, comme dans le n° précédent ; et si l’on représente par T 0 ,T 0 ', T/, les valeurs initiales de T, T', T", et que l’on suppose, pour un moment, ces forces invariables, on aura, au bout d’un temps t quelconque :

a = T Jt, ê=rT :ft, y = T jft;

ft étant une fonction qui sera nulle quand t= o, et qui acquerra une valeur constante après un certain intervalle de temps.

Ce temps sera très-court, parce que dans toutes les substances susceptibles d’aimantation par influence, les phénomènes magnétiques acquièrent très-promptement toute leur intensité. Néanmoins il pourra être très-différent dans ces diverses substances ; et il dépendra, ainsi que la forme de ft, de la matière et de la température de A au point M. L’action de la petite sphère dont ce point est le centre ne variant pas,d’après ce qu’on a vu plus haut(n° 6), avec la grandeur de son rayon, le coefficient ft en sera aussi indépendant ; et comme il ne devra rester finalement aucune trace de ce rayon indéterminé, il sera nécessaire que l’intégrale Q' qui commence à la surface de cette sphère, ne dépende pas cependant de son diamètre; ce qui arrivera effectivement, comme on le verra bientôt.

ü8 MÉMOIRE SUR LA THEORIE

Les valeurs variables de ft pourront être extrêmement grandes par rapport à sa valeur finale. Cela aura lieu, par exemple, si la décomposition du fluide neutre se fait dans tout Tintérieur de chaque élément magnétique, de sorte que pendant leur mouvement, l’un des deux fluides soit en excès en chacun de ses points; et qu’au contraire dans l’état d’équilibre, le fluide libre soit transporté à sa surface, où il ne forme plus qu’une couche d’une très-petite épaisseur. Il en résulterait, en effet, que dans Je premier cas, l’action d’un élément magnétique émanerait de tous les points de son volume, et d’une très-petite partie seulement, dans le second cas. Cette remarque que nous avons déjà faite au commencement de ce Mémoire, peut servir à rendre raison de la différence d’action du magnétisme dans les deux états de repos et de mouvement. Mais nous ne ferons aucune hypothèse particulière sur la forme de ft : les valeurs de cette fonction pourront être positives ou négatives, et aussi grandes qu’on voudra ; elles passeront plusieurs fois du plus au moins, si les deux fluides ne parviennent à l’état d’équilibre qu’après plusieurs oscillations dans l’intérieur des éléments magnétiques : il nous suffira de savoir que ft n’est variable que pendant un temps très-court, et la loi de ses variations n’influera aucunement sur notre analyse, ni sur les résultats définitifs de nos calculs.

(10) Etendons actuellement les résultats précédents au cas où les forces extérieures qui donnent naissance aux inconnues a, g, y, sont variables en grandeur et en direction.

Supposons qu’après un temps t'< t , une nouvelle force T,, constante et parallèle à l’axe des x, vienne s’ajouter 4 la force T 0 ; au bout du temps f, on aura

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 2 ÿ

a=T 0t /jf 4 - — £ );

car a ne peut être qu’une fonction linéaire de T 0 et T t , qui devra se réduire à chacun de ces deux termes, quand la force relative à l’autre terme sera égale à zéro. Par la même raison, si après un temps £" < £, une seconde force T 0 constante et parallèle à l’axe des x, s’ajoute aux deux premières, nous aurons, au bout du temps t :

a=TJt H- T,/(£-£') + T,/(£-£'>

E^fénéralement, au bout d’un temps quelconque £, plus grand que £', £", £*', etc., on aura

a= To/t — £") + T 3 /(%- 1 ”) 4 - etc.,

lorsque les forces T., T a , T 3 , etc., toutes constantes et parallèles à l’axe des x, s’ajouteront successivement à la force T 0 , et commenceront d’agir aux époques £', £, £ ", etc.

Maintenant, pour que la force qui agit dans cette direction sur l’élément que nous considérons, varie d’une manière continue, et soit égale à T au bout du temps t, il suffira de faire

t'=.dt y t"=^.2.dt, t"'=Zdt, etc., et de prendre en même temps

T,=:dT 0 , T t =dT t , T 3 = dT 3 , etc.; d’où il résultera

« —T„ft +f{t — dt)dT a +f[t— idt)dT, + ... -\rf(dt)dT.

La partie de cette valeur de a qui se compose de termes in-

Animent petits, est une intégrale définie ; et sa valeur entière pourra s’écrire ainsi :

a==T Jt+ J

en désignant par 0 la valeur de T qui répond à t— 6.

On trouvera de la meme manière

/ ^ â ?T o y3f-:+ f f{t — Q)dQ\

0 ' et 0" étant les valeurs de T' et T" relatives à t=G.

L’intégration par partie fera disparaître les termes compris hors du signe J*: en observant qu’on a f(t — 9) = o, à la limite 6 — t, et faisant

dt ’

nous aurons

ê=f f'(t—H)@'db, J O

y=f t f'(t—b)Q"db.

(n) Ce sont ces trois équations qu’il faudrait pouvoir résoudre pour déterminer les trois inconnues a, ê , y. Lors-

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 3l

que leurs valeurs seront connues en fonction du temps t et des trois coordonnées x,y, z,, du point de A auquel elles répondent, les équations ( 3 ) feront connaître à chaque instant, en grandeur et en direction, l’action de ce corps sur un point extérieur donné de position ; ce qui serait le but final du problème dont nous nous occupons.

La quantité QV contenue dans les seconds membres des équations (6), sera toujours l’intégrale Q du n° 3 , étendue à tous les points de A compris entre sa surface et celle de B; mais la forme de B ne sera plus arbitraire ; et l’on devra prendre pour cette partie de A, une sphère qui ait son centre au point M dont les coordonnées sont oc,y, z, et un rayon indéterminé, mais assez petit pour qu’on puisse regarder les quantités k\ a', 6', y', comme sensiblement constantes dans toute l’étendue de B. Gomme les limites de l’intégrale Q' qui commence à la surface de cette sphère, dépendront implicitement de la position du point M, il faudra se souvenir que les différentiations relatives à ses coordonnées oo, y, z, devront être effectuées avant l’intégration, ainsi quelles étaient indiquées dans le n° 3, avant qu’on les eût transportées en dehors

des signes j, ce qui n’est plus permis dans le cas actuel.

Observons aussi que les valeurs de a, 6, y, relatives a des éléments magnétiques-, situés à la surface de A, ne sont pas comprises dans les équations (6) ; car en donnant dans le n° p, une forme sphérique a B, nous avons exclu ces éléments. Ces trois quantités a, 6, y, sont des fonctions de x,y, z, qui changent de forme et varient très-rapidement près de la surface de A. S’il s’agissait de calculer l’action de ce corps sur un point extérieur, très-voisin de sa surface, il ne serait

pas permis de négliger la partie de cette action qui proviendrait de la couche superficielle ; mais dans toute la suite de ce Mémoire, nous nous bornerons à considérer les points extérieurs qui sont à une distance sensible des corps aimantés : alors on pourra faire abstraction de l’action exercée par la couche superficielle sur ces points; et par conséquent, nous n’aurons pas besoin de connaître les valeurs de a, 6, y, qui s’y rapportent.