IL
Simplification des formules précédentes.
(12) Nous pouvons écrire la valeur de Q sous la forme
\ doc' dy dz' / en faisant, pour abréger,
n rrCfé.k'v: d.k'Ç,' d.k'Y\dx r dy dz'
Si nous mettons successivement dans l’équation ( 5 ), ~L ,
——, —a la place- - , nous en conclurons
Q = jj[a cos. s 4- ê'cos. s’ -+- y'cos. s") — R ;
dbi étant l’élément différentiel de la surface de A; s,s\s f \ désignant les angles que fait la partie extérieure de la normale à cette surface, au point dont les coordonnées sont
x' y z\ avec des droites tirées par le même point suivant les directions des x\y\z\ positives; et l’intégrale double s’étendant à tous les points de cette surface, de sorte que si A est un corps creux, cette intégrale pourra se partager en deux autres, l une relative à la surface extérieure de A, et l’autre, à sa surface intérieure.
Pour obtenir l’intégrale Q', nous l’étendrons d’abord, comme la précédente, au volume entier de A; puis nous en retrancherons l’intégrale relative à la sphère B qui n’y doit pas entrer; et si l’on veut connaître les différences partielles de Q' qui entrent dans T f T' T", il sera nécessaire, d’après ce qu’on vient de dire, d’effectuer les différentiations par rapport à x,y, z, avant l’intégration dans l’étendue de B. De cette manière, on aura, par exemple,
dx ~ dx
Q étant la même quantité que précédemment, et en faisant rrr (d.d.ïszl \
A —JH «' + ~3p-' ê ’ + -à~) k ' dx ' d r dz ' ■
Cette intégrale triple s’étendra à tous les points de B; entre ses limites, on regardera les quantités k', a', 6', y', comme constantes et égales à k, a, 6,y; par conséquent, en conservant les notations du n° 5, nous la changerons en une intégrale double, relative à la surface de B, savoir :
/TV „ # , rA (x' — x)dto
• a = Æ JJ (jx ÇOS.J -h êcos. S -h ycos. s J -—,
dont on obtiendra facilement la valeur à cause de la forme sphérique de B.
Menons, pour cela, par le point M, trois axes parallèles à ceux des x,y, z; soit u l’angle que fait le rayon p jnené de ce point à celui de la surface de B dont les coordonnées sont x', y\ z\ avec l’axe des x, et v l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des x, z; nous aurons
x — x = p cos. u, y' — y = p sin. u sin. v, z’ — z = p sin. u cos. x.
La normale en chaque point de B coïncidant avec le rayon p qui aboutit au même point, il en résulte
cos. s = cos. u, cos. j' = sin. wsin.'V, cos. ,?" = sin.Mcos.'v.
On aura, en outre,
du — fsm.ududv,
à cause que le rayon p est constant ; et pour étendre l’inté grale double à toute la surface de B, il faudra la prendre depuis u= o et v = o , jusqu’à u = 7u et v = 2 t: ; ce qui donnera
^ 4 TC k PL
D’après cela, nous aurons
d Q' d Q 4rÆa
dx dx 3
On trouvera de même
d Q' dQ 4 **g d(y d Q 4**Y dy dy 3 * dz dz 3 ’
et les valeurs de T, T', T", deviendront
rp d\ dQ jnkcL
d x dx 3
dy dQ 4**6
dy dy 3
rV"— dy I AlZk ^
dz dz 3
(i3) Avant d’aller plus loin , il sera bon de considérer en particulier le cas où les forces extérieures qui agissent sur A, sont constantes en grandeur et en direction, et où il s’est éçoulé le temps très-court, nécessaire pour que les deux fluides soient parvenus à l’état d’équilibre dans son intérieur. A cette époque, la fonction ft aura acquis une valeur fixe que nous représenterons par
ft = q ;
en même temps/*'£ sera nulle; par conséquent il faudra que 6 diffère très-peu de t pour que les éléments des intégrales comprises dans les formules ( 6 ), ne s’évanouissent pas à raison de leur facteur /'(f— 0 ). Leurs seconds facteurs ©,©', 0 " seront alors sensiblement constants ;on pourra les remplacer par T, T', T"; et comme on a
à cause que f{t — 6 ) est nulle à la limite 0 ~£,«£es équations ( 6 ) deviendront
«=T q\ e=Tq, i=Vg.
En les combinant avec les équations ( 7 ), on en déduit
dxj
(dv d Q\
kvq
On peut réduire à une seule, les deux quantités k et q, dépendantes de la matière de A, que renferment ces formules et les valeurs de Q et R : il suffit pour cela de multiplier ces dernières équations par k; de mettre a, g, y k la place de Æa,Æg, ky , et, par conséquent, a', g', y', au lieu ÆV, Æ'g',
k' y'; puis de remplacer — ~\ Ttq P ar une seule lettre p. Ces 1 T
équations et les valeurs de Q et R deviendront alors
dQ\
g , rdV dQ\
e + p{dï + -7p)= 0 ’
COS. S 4 - g'cos. j' + y'COS./')—- R r
Soit maintenant <p une fonction de x, y, z, déterminée par l’équation
nous aurons
et en outre
do ,, do do
*=PTx' ? = Pjy' 1=P7i>
Q=ff^ cos - f +% cos - s ’ + jI cos - s ") PJ r~ R ’
p f[f( d j£jà d ' P '% ^^Jl) àx'dfdz'
JdJ \ dx' djr' dz' 1 p
en désignant par p' et <p', ce que deviennent p et 9 quand on y change x, y , z, en x'y' z'. La solution du problème qui nous occupe, c’est-à-dire, le calcul de l’action de A sur un point extérieur au moyen des équations ( 3 ), ne dépendra donc plus que d’une seule inconüfüe, ou de la résolution de l’équation (8).
(i 4 ) Les centres des forces auxquels répond la fonction V étant extérieurs, et les coordonnées x, y ? z, appartenant à un point intérieur de A, on a
et ce point ne faisant pas partie de sa surface, on a aussi identiquement
dans toute l’étendue de l’intégrale double que Q renferme, laquelle disparaît par conséquent dans la quantité
Mais il n’en est pas de même à 1 egard de l’inte'grale triple R qui s’étend à tous les points de A ; et d’après le théorème du n° y, on a
<^ a R d 'R rf’R , ( d ' p ~cLx d ’ p dî . d,p dl S
dx*~^~ dy* dz* \ dx dy
dy 9 dz 3 H \ dx
On déduira donc de l’équation ( 8 ) :
dj
dz
d a 9 dx'
d '9 'dy*'
dx
dx
dy
dz
= o. (io)
Si A est un corps homogène qui ait partout la même température, les quantités k et q , et par suite la quantité p, seront indépendantes de x, y, z; ce qui réduira cette dernière équation à
TT + 7T + TT=°dx * dy dz
On aura en même temps R = o,et la valeur de Q sera sim¬
plement :
Q=pff & œs - s+ % cos - s ' + % cos - / ) T
Cette expression, l’équation précédente et l’équation ( 8 ), s’accordent avec celles que j’ai trouvées dans le premier mémoire , pour le même cas d’un corps homogène dans lequel les deux fluides sont en équilibre : elles coïncideront parfaitement, en remplaçant dans celles-ci, l’inconnue 9 par
et y mettant ensuite p à la P lace de T*(Zfsÿ ce
qui est permis, puisque k est une constante dont la signification n’est pas déterminée, d’après ce qu’on a dit à la fin du n° 12 de ce mémoire.
Après le cas de l’homogénéité, le plus simple serait celui d’un£ sphère composée de couches concentriques, dont chacune soit homogène. En fixant, dans ce cas, 1 origine des coordonnées au centre de cette sphère, et désignant par r le rayon vecteur du point qui répond à x, y, z, en sorte qu’on ait
la quantité p sera une fonction donnée de r. On aura, en conséquence,
dp dp x dp dj^ T dp dp z
~dx ~dTr r 9 df dr r 9 dz dr r 9
et à cause de
x d (p y dy z dy d ç
r dx r dy ^ r dz d r 1
on tirera de l’équation ( 10 ) :
dx • + ’dÿ' + dz' 1 + 47 xp dr
Si donc on désigne par rie rayon vecteur du point qui répond à x y y, z, la seconde équation ( 9 ) deviendra
en faisant, pour abréger,
dp’
de manière que V soit une fonction donnée de r‘ qui sera nulle quand toutes les couches de A seront de la même nature. Conservons ensuite p pour représenter la valeur con-
4û MEMOIRE SUR LA THEORIE
stante de p' relative à la surface de A, observons qu’on a
COS. S — — , COS. S = ^-r , COS . s" =l r' 7 r 1 7 r 7
et éliminons R de la première équation (9), nous aurons
p. /YW<p' dto pp/l t ,d^dx' dy' dz'
^ PJJ d? "p JJJ- dr ' p *
Nous ne ferons quant à présent aucune application particulière de cette formule, faute de connaître la valeur de en fonction de r . Si la sphère que l’on considère est formée d’une matière homogène, dont la température varie du centre à la surface, cette fonction dépendra de la loi inconnue suivant laquelle la puissance magnétique change avec le degré de chaleur dans les substances susceptibles d’aimantation par influence.
(i 5 ) Réduisons maintenant les équations relatives au magnétisme en mouvement, comme nous venons de réduire celles qui se rapportent au magnétisme en repos ; mais pour ne pas trop compliquer la question, bornons-nous à considérer le cas d’un corps homogène, dont tous les points ont la meme température, de manière que A’ et ft soient des quantités indépendantes de x, y, z.
Soit pour un moment
d a d& dx dy
et désignons par F 't, ce que devient cette fonction, quand on y change x, y, z, en x', y', z . La valeur de Q du n° 12 deviendra
Q = kjÿ a cos. s -h g ■' cos. / -h / cos. /) —kjjJ dccdyd z.
On en déduira, comme précédemment,
dx % dy' dz'
et les équations (7) donneront ensuite
t d'r t d T" 8* AF t
dx~*~ dy dz ~ 3 ’
au moyen de quoi l’on déduira des équations (6).:
équation à laquelle on satisfait évidemment en prenant Ft=o, et qui n’a pas d’autre solution, quelle que soit la fonction f't.
En effet, si l’on a F^=o, depuis t —o jusqu’à une certaine valeur t=a , je dis que l’on aura encore F^ = o jusqu’à t=a -t- £, £ étant infiniment petit ; car d’après l’équation dont il est question, et en négligeant le carré de nous aurons
F (a + i) = — ~ [J“ F6 f(a+ t—t)dt+Faf •{»)»] ;
et comme on a F#=o, et que FO est aussi nulle par hypothèse dans toute l’étendue de l’intégrale que cette formule renferme, il en résulte F (a f £)=o. D’ailleurs l’intégrale relative à Ô que contient notre équation, s’évanouissant avec t, on a i8a3. 6
Ff=o, quand t= o; on aura donc aussi F($) = o; et en prenant successivement a = = 3 £, etc., on voit
qu’on aura généralement F(rc£) = o, n étant un nombre entier, fini ou infini; ou autrement dit la fonction Fé sera nulle pour toutes les valeurs de t.
En remettant pour cette fonction, ce quelle représente, nous aurons l’équation
(Icl d& dy
dcc dy dz ° ’
d’après laquelle, il ne restera dans la quantité Q, que l’intégrale double relative à la surface de A, savoir :
Q = kJ'Ç[a 1 cos.s + g' cos./ -h y' cos./')~-
(16) Soit actuellement
da. d g
~dÿ dcc
Ees deux premières équations (y) donneront
d T dT'4r:/c dy dx~ 3 * t;
ensuite on tirera des deux premières équations (6) :
et l’on démontrera, comme dans le n° précédent, que cette dernière équation n’a pas d’autre solution que <j^ = o. Ainsi, Ion aura
On prouvera de même que l’on a
d y da. d£ à
Thr dz~° 1 dz*y$-d
dv
dy
ce qui montre que a, 6 , y, sont les différences partielles d’une même fonction de x,y,z; en sorte qu’en désignant par 9 cette fonction inconnue, nous aurons
dy A dy dy
a = ^> Çj = Tr^ ï =
L’équation trouvée dans le n° précédent se changera donc en celle-ci
j* + dp + dï— 0 ’
..(ia)
et la valeur de Q deviendra
Q = {[[(£ cos - s+ ïy co *- s ' + % cos - s ")y ’ (13 )
en appelant 9 ' ce que devient^ quand on y remplace a?, z, par les coordonnées x\y\ z\ d’un point de la surface de A.
Après avoir éliminé 0, 0', 0'', des équations (6), au moyen des formules (7) dans lesquelles on fera t =6, ces trois équations (6) se réduiront à une seule dont elles seront les différences partielles relatives à oc, y ., z, savoir :
où l’on a représenté par V I} Q, et 9,, ce que deviennent V, Q et 9 quand on y met ô à la place de t.
(17) La solution du problème qui fait l’objet de ce Mémoire, ne dépend donc, cotnme dans le cas du magnétisme
en repos, que d’une seule inconnue 9,. et se trouve ramenée à résoudre l’équation (i4) pour en déduire la valeur de cette inconnue en fonction de ^,7, z et t. L’équation (12) n’ajoute rien à cette équation (i4) : toute valeur de 9 qui satisfera à celle-ci, vérifiera aussi l’équation (12) qui en est une conséquence, dont on pourra néanmoins se servir pour faciliter la résolution de l’équation (i4)-
Lorsque la valeur de 9 sera connue, les équations (11) feront connaître immédiatement l’état magnétique du corps A à tel instant et en tel point de sa masse que l’on voudra^c’està-dire , la direction et l’intensité d’une petite aiguille aimantée dont l’action magnétique serait équivalente à celle de l’élément de A qui répond à ce point (n° 2). Par une double intégration, étendue à toute la surface de A, on connaîtra aussi la valeur de Q; puis les équations ( 3 ) détermineront, en grandeur et en direction, l’action exercée à un instant quelconque par ce corps, sur un point extérieur, situé à une distance sensible de sa surface.
D’après la formule (i 3 )* nous voyons que cette action sera équivalente à celle d’une couche de fluide libre, extrêmement mince, qui s’étendrait sur toute la surface de A, et dont l’épaisseur au point qui répond aux coordonnées x,y, z r aurait à chaque instant pour expression : m
k @ cos - '+% cos - s ' + % cos - *) ;
le fluide étant boréal ou austral selon que cette quantité sera positive ou négative. Cela ne veut pas dire, cependant, que cette couche superficielle existe réellement comme dans le cas de l’electricite : le fluide libre, dans un corps aimanté.
est distribué dans toute sa masse ; l’action extérieure de ce corps émane de tous ses points ; et s’il ne s’agissait pas d’un corps homogène , cette action ne serait pas équivalente à celle d’une couche superficielle, ainsi qu’on le voit par la seconde valeur de Q du n° i 4 - Si le corps homogène A était creux, l’intégrale que Q représente s’étendrait à ses deux surfaces, et par conséquent aussi la couche de fluide libre dont l’action pourrait remplacer celle de A.
Les composantes X, Y, Z, données par les équations ( 3 ) ne sont que des forces accélératrices : si le point extérieur sur lequel elles agissent était, par exemple, l’un des pôles d’une aiguille aimantée, et qu’on voulût connaître la force motrice de cette aiguille, résultant de l’action de A sur le fluide libre, réuni en ce point, il faudrait multiplier les seconds membres des équations ( 3 ) par cette quantité de fluide, positive ou négative, selon la nature du pôle. Dans ce cas, il pourra arriver que ce pôle soit aussi l’un des centres des forces extérieures qui produisent l’aimantation de A, et auxquelles répond la quantité V; la valeur de <p, donnée par l’équation (i4), dépendra alors de sa position, et sera fonction de ses coordonnées; mais en différentiant Q pour former les valeurs de X, Y, Z, il faudrait avoir soin de faire seulement varier les coordonnées de ce pôle qui entreront dans sa distance p à un point quelconque de A.
(18) Quelles que soient la forme de ce corps et les forces extérieures auxquelles il est soumis, nous pouvons démontrer que l’équation (i4) n’est susceptible que d’une seule solution. Supposons, en effet, qu’on y puisse satisfaire au moyen d’une première valeur de 9, et ensuite au moyen de
cette valeur augmentée d’une autre fonction de x, y f z et t; représentons cette fonction par F t, et par F'tfce qu’elle devient quand on y change x, y, z, en x 1 , y, z' ; faisons ensuite
dx'
