III
Application à une sphère homogène, tournant uniformément sur elle-même,
(îq) Pour fixer les idées, nous supposerons Taxe de rotation horizontal. Nous placerons l’origine des coordonnées qui entrent dans les formules précédentes, au centre de la sphère. Les x positives seront comptées sur cette droite, du côté du sud ; l’axe des z positives sera vertical et dirigé de bas en haut, et celui des y positives, horizontal et tel qu’en tournant, les points de la sphère aillent du premier au second axe. Soit r le rayon vecteur du point M , extérieur ou intérieur, qui répond aux coordonnées#,/, z; à l’origine du mouvement, désignons par u l’angle compris entre cette droite et l’axe des x, et par a» l’angle que fait le plan de ces deux droites avec celui des a;, z. Si nous représentons par n la vitesse angulaire de la sphère, qu’on suppose constante, l’angle v deviendra nt -h v au bout d’un temps quelconque t, compté de cette origine ; et à cet instant, nous aurons
#=/*cos.w, y=rrsin.7/sin.(/if+'y), z=/’sin.«cos.(rc£-h v).
Soient en outre /•', u' et V, ce que deviennent les variables r, u et v, relativement à un point M' de la sphère dont
x',y\z', sont les trois coordonnées. En appelant $ l’angle compris entre les deux rayons vecteurs r et r\ on aura
cos. $= cos. u cos. iï -h sin.wsin.tt'cos. (y — V ); et la distance p de M à M' sera donnée par l’équation : p a =r* -+- r" — irr' cos.8.
Au lieu d’une sphère entièrement pleine, nous considérerons, pour plus de généralité, une sphère creuse dont la partie pleine aura une épaisseur constante. Nous désignerons par ci et b, les rayons de ses deux surfaces concentriques, de sorte que a — b soit cette épaisseur. Cela étant, pour former la quantité Q, nous aurons à la surface extérieure :
cos.j=-7, cos. s = — , cos.s , r =a ,
d(à=a 1 sin.w' du' dv;
et à la surface intérieure :
cos.s= —-p-? cos. .y ——— , cos .s =— — , r=b,
dtû= & 2 sin. u'diï dv
par conséquent l’équation (i 3 ) deviendra
sin. u ' du' dv'
-kb
jj-
‘ê'sin. u' du'dv'
et p a étant les valeurs de p relatives à r'=a et r'—b; v et 6', celles de qui répondent à ces mêmes valeurs de ;
et les intégrales étant prises depuis w’ = o et v' = o, jusqu’à u'=it et v' = 2k. Pour les effectuer, il sera nécessaire de développer p, et p, en séries convergentes, ce qui exigera qu’on ait égard à la position du point M.
Si ce point appartient à la partie pleine de la sphère,
en sorte qu’on ait r > b et < <2, on développera - suivant les
puissances croissantes de £, et ^ suivant celles de - ; on aura, de cette manière :
H—tztP. + etc., a' -1- *
-^-P, + etc.;
P, étant dans les deux séries, la même fonction de cos. î, rationnelle, entière et du degré i. En appelant Q ( , le terme de Q correspondant à P,, on aura donc
^y'a'P.sin. üdu'd'v'-
P. S ^ n - u dudv' ;
et il faudra substituer à la place de Q, dans l’équation (i 4 ), la somme de ces termes depuis i=o jusqu a i =00 .
Nous supposerons enfin que la sphère creuse soit aimantée par l’influence d’une force qui soit la même en grandeur et en direction pour tous ses points, telle que l’action magnétique de la terre, par exemple. La quantité V dont les différences partielles prises avec des signes contraires, expriment les composantes de cette force, sera une fonction linéaire de a;,y,z; et en y mettant pour ces coordonnées leurs valeurs précédentes, elle prendra la forme :
V == — mrcos. u —m'rsin. wsin.r— m" rsin. cos. v;
m, m\m" étant des constantes positives qui dépendront de l’intensité et de la direction du magnétisme terrestre au lieu
5o MÉMOIRE SUR LA THEORIE
et à l’instant de l’observation, et de l’orientation de l’axe de rotation de la sphère. On mettra donc cette valeur de V avec celle de Q dans l’èquation (i 4 ), ou plutôt dans sa différentielle relative à r, afin d’en déduire, en la résolvant ensuite,
la valeur de ^ que nous aurons seulement besoin de connaître.
(20) En ayant égard aux propriétés connues des fonctions on v °it immédiatement que la valeur la plus générale
1 do . . ,■
de -j~ r qui puisse satisfaire à cette équation, sera de la forme :
j- r = Rcos.m 4- R sin. u sin.(rc£ 4- v) 4- R" sin. n cos. (nt -t-'v);
R, R', R", étant des fonctions inconnues de r et £dont chacune n’aura qu’une seule valeur possible, d’après la proposition du n° 18.
Si r on représente ce que ces quantités deviennent, par A, A', A", quand on fait r—ci , et par B, B',B", dans le cas de r=b , on aura
a' = A cos. u'-h A'sin. u' sin. (n t 4- 7/) 4 - A" sin. u' cos. ( n t 4-7/), ê'=B cos. u' -f- B'sin. z^'sin. {n t 4- v') 4- B” sin. u' cos. (rc t 4- v') ;
et d’après les propriétés de P, , il en résultera
^ya'P.sin. u'clu dv'= o, JJ&Y? { sm.u'du' dv'=o,
excepté dans le cas de l’indice i= 1 , pour lequel on aura
si* ,sin. u du’dv , = ~[ A cos. u 4- A' sin.zzsin.(rc£ 4 - v)
+ A" sin. u cos. (n t 4- v )],
DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. 5 l
//«* x sin. u' dü dv '[B cos.w -t- B'sin.wsin. (lit + v)
+ B" sin. u cos. {n t -h v)].
La valeur de Q relative à la partie pleine de la sphère ne sera donc composée que du seul terme relatif à cet indice; et en la différentiant par rapport à r t nous aurons
d Q 4«*[Ya 2 BÆ 3 'N s aB'Æ 3 \ ... N
^=-y- (A H—^7 —J cos. u f A H—^3—Jsin.wsin.(7i^-h / y)
-4-^A /, -4-^2 r »^ s in.MCOS.(/if+'i;).
Je substitue actuellement les valeurs de ~, ^2 e t ~
dr 7 dr dr
dans l’équation (i 4) , différentiée par rapporta r; et en égalant séparément à zéro , les coefficients de cos. u, sin. u sin. (ji 1 4- v) et sin. u cos. (nt-t-v), j’obtiens ces trois équations :
R +Pr'
oj a **
, — to']n
+ [i^(A"+^-R")- w "](N'+ ? )=o, ] dans lesquelles on a fait, pour abréger,
f sin.tt(£ — —G)<iG —N,
f [cos. n(t — o)—i] i /'(f— ô)û?ô =N'.
Dans les premiers instants de la rotation delà sphère, ces trois intégrales q, N et N' seront variables, et leurs valeurs dépendront de la forme inconnue de la fonction ft du n° 9; mais elles se changeront en des quantités constantes dès que le temps t aura acquis une grandeur sensible. En observant qu’on af(t — G) = o, à la limite G = t, on voit que q ne sera autre chose que la valeur constante d eft qui aura lieu à cette époque. Pour que les éléments de N et N' ne soient pas nuis à raison du facteur /'(£—G), il faudra que G ait aussi des valeurs qui different très-peu de celles de t; et si l’on fait t —Q=a?, les valeurs constantes de N et N' seront
N=/sin .nxf'xdx, N'= J [cos .nx — i)f xcLx;
les intégrales étant prises dans la petite étendue des valeurs de x pour lesquelles ^'x n’est pas nulle , ou, ce qui reviendrait au même, depuis x= o jusqu’à x=cc. (Test à partir de cette époque que nous nous bornerons à considérer l’action magnétique de la sphère tournante.
(21) En faisant successivement r=a et R=A, r—b et R = B, dans la première équation (16), il en résulte deux autres, d’où l’on tire
A mk,[(l+k x )a* — ik^b*}
“3“ A — (!+*,)«»-aV** *
