IE

En général, on donne une surface par une relation entre les coordonnées de ces points par rapport à trois axes rectangulaires. Soit

sÆ=F(#x, 7) cette relation, et posons, suivant l'habitude,

(LRO: LÉ LR RO pe ET GE À dy? He dy dx ” ete

les cosinus que fait avec les axes la normale à la surface en un point quelconque sont

ÉD Vi+p'+q?

au. | COL = ———— "?

Vi +p'#+4 COSY — S | Vi+p+ Je tire de là COSY Se COS q’ COUT cos p ee COSY

Différentiant, il vient

1 7-4 YVBOS” ire dq cosy d cosy — cosy dcosu — mn

| cos’À dq— qdp

A dcos H'éoex = SP n P4g— gap

(A) BOB TRUE CUS LL OCS P' (pdq — qdp) 1+p—q cosy d'eosÀ — cosà d'tos p = — Cos’y dp = Me 2 1+p+ q

élevant au carré ces trois relations, et ayant égard à l’équation

cosAdcosÀ+ cosu dcosu + cosy dcosv = 6, j'obtiens

(æ) des doter dose re Rs ndee[paiqdn}, Ë (1 + pi+q}

pe 5. rite if rt te

(19) Divisant maintenant chacune des relations (A) par la racine carrée de celle que je viens d'écrire, on trouve

DER Er nn Es " : dq à È d0 Ydp+ dg® + (pdqg—qdp} neo en dE0S AL pdq— qdp ; 4 d0 Yap’+dg"+{(pdg— qdp} A NC RER di Eu ru .

# d0 Vdp:+dg+(pdg—qdp}

Or les quantités qui figurent dans les premiers membres de ces équations sont les cosinus des angles que fait avec les axes la plus courte distance

‘entre deux normales voisines ; donc

dq COS À —= =) Vdp®+ dg°+(pdq — qdp} — dp (B) COS Lo — , Vap® + dg +(pdq — qdp} COSY = pdg—qdp

Vdp'+ dg*+{(pdq—qdp}

De ces équations je tire de nouveau

cos pdg—qdp COTE FR COS Lo dp

cos dg

COS dq

COS% pdq— qdp'

dad?p — dpd’?

indien cos deospe= Pi q né P 1) cosy,

co À d COS 20 — COS ps COS = — op se T cos’,

dqd? p — dpd?q)

F COS? %; (pdq — qdp}

cos, d cos À, — COS COS % —= q{

élevant au carré après avoir remplacé cos lo... par leurs valeurs (B), on D

(20) trouve (*) (dgd’p— dpd?q) dp° + dg®+(pdq — qdp)

(8) d0,— ÿdcosii + dcosui + dcosv? — VIH pi+g:.

Au moyen des formules qui précèdent, on déterminera sans la moindre difficulté les valeurs des différentielles Zcos), dcosu., dcosv, dcos},, dcosus, d'eosv,; voici ces valeurs :

PE ol

dcosÀ — (24 pig i (C) dcosu — pgdp—(i+p')dq, G+p+g) dcosy — RCE,

Ge ar

— [pqdq —(q +1) dp] (dpd?q— UE

dcosh = (ap? ds + (pdg — qdpÿŸ 2q — dqd!

dcos = — [rqdp=—{(i+ p°)dg](dpd q se p), (D) [dp?+ dqg*+(pdq — qdp} IE / 2q — dad?

déosy = 2e PEP 464) (Cha dqéip), | [dp?+ dg® + (pdg — qdpY

On tire aisément de ces équations

dcosk dcosm dceosn dô,

dcosi dcosu dcosy — d0

Ces relations ont été déjà données par M. Serret (**), et il est évident qu’on peut encore énoncer, dans le cas actuel, tous les théorèmes que cet éminent géomètre en a déduits.

Les équations (E) se transforment ainsi

dcosk, __ dcosk dcosm deosp dcosn dcosv DO, db LU A0 0 CO Te] RENOMUOS

elles font voir que la normale à la surface gauche (K) au point central

(*) La méthode dont je me suis servi pour déterminer 40, d0, pourra aussi servir à la détermination de l’angle de contingence et de torsion des lignes à double courbure. (**) Notes ajoutées à la Géométrie de Monge,

| RQ AL M SN AS RCE

coïncide avec la normale au même point de la réciproque (T). C'est à une proposition qu’on ne pouvait pas admettre à priort.

Remplaçons maintenant, dans les équations (2) et (4), dcos à, deosu,…., par leurs valeurs (C), (D), 1l vient

Len ou] [pqdq —(1+q")dp| dx + [pgdp—\ 1+ p')dq] dy —(pdp+ qdq)dz + pi+ gi [(dp?+ dg"(pdg — gdp}}}

dqdx — dpdy + (pdq— qdp)dz

cos] ds — ÿ [dp* + dg® + (pdq — qdp}

Pour exprimer les différents éléments 1, dû, d8,,..., en fonction des courbures principales et de leurs variations, supposons que l'origine et l'axe de z coincident avec le point "2 et la normale à la surface en ce point, on aura, Comme On Salt,

Les équations (F) prennent ainsi la forme

jHihe dx? dy dx dy?

PUR Te 25 TT d0 dx?. dy! dy dx cos] À Fe (F +) (rt) x Posant æ 7 C0, il vient HEC ; ; sin = LOS e2sina COS à — ésin?«,

d0 : 5 cosi TES (cos’æ — sin?x)— (r — t)sinæcosæx.

Si, dans la seconde, on change & en 90° + «, le second membre changera de signe seulement, et l’on a ainsi le théorème de M. Bertrand. Faisons la même substitution dans la première, il vient

2 200 : \ sin] —- — — rsin?o + 25 sin « COS æ — ÉCOS’ a ;

donc

et, en ayant égard à l'équation (5)

I I = Tr {, É cose), S G cor) j

ce qui prouve que la somme de deux courbures de sections normales et faisant entre elles un angle de 00 degrés est constante pour chaque point de la surface et égale à la somme de deux courbures principales. Ce théorème

est du à M": Sophie Germain (*).

Prenons maintenant les plans des deux sections principales pour plans

z Li Le coordonnés: onaura, pK étant les deux courbures, [l 2

et les équations précédentes deviennent

| ainr ee = (052 sin'a ds R, R; Et, d0 I I £ | cos = — (Rx) CoSa sin.

En comparant la première avec l'équation (5), on verra que c’est la célèbre équation de Clairaut; la seconde équation (H) a été découverte par M. Bertrand ; on en déduit sans peine

d® costa sin’x

mé CR oh

" tang Ï — Rcos'a + Risin?æ : 7 (R—R)cosesinæ

I devient nul pour

(2 Pr

remplaçant cette valeur à la première équation (K), on trouve

(L) sie ne RR; Cette formule est due à M. Ossian Bonnet.

Les équations (H), (5), donnent

COS’& sin?æ KR, FR;

ee (*) Journal de Crelle ; 1831

(M) = cos — ? P

(23) 1 s'ensuit que pour une même valeur de « le second membre reste constant, quel que soit +, ou = de là le théorème de Meusnier. Appelant : la courbure

de la section normale, on aura

(N) | R C0Sp =

la valeur de la torsion géodésique prend la forme

P T? — R—K) AC y cir2 k ste QE :

(P) (& R,) cos asinta + sing

pour les lignes géodésiques, on aura I I Ÿ (R) =(i-s) sin & COS &.

Comme on voit, elle ne change que de signe pour les lignes géodésiques qui se coupent normalement ; par conséquent, deux lignes géodésiques se coupant normalement ont leurs secondes courbures absolues égales et de signe contraire. La même formule (R) fait voir que tangl s’annule pour

SiNæ—0, Où COSx—0o.

Donc les lignes géodésiques tangentes aux lignes des courbures présentent aux points de contact une simple inflexion.

# LA do 5 Le maximum de la valeur générale de cos I 7, correspond à

| A 43% On s’en assurera aisément. y Je passe maintenant au calcul de d8,.

On a d’abord > dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy.

Pour trouver d?p, d?q, il faut différentier les équations ci-dessus; ds, étant l’arc, posons be