SIN
Pour trouver alors la valeur de dû do,
il faut recourir à la formule (0); elle donne en effet
dO tango ———.
Comme la formule (17) joue un rôle important dans la théorie des lignes tracées sur une surface, j'en donnerai une seconde démonstration.
X, Y, Z étant les coordonnées courantes, l’équation du plan tangent au point (x y z) sera
(æ) (X—x)cosÀ +(Y—7y)cosu +(Z—z)cosy — 0.
Différentions deux fois consécutivement, en considérant X, Y, Z comme constantes; il vient
(X— x) dcosi+(Y—7y) dcosu +(Z— z)dcosy — 0, (8) (X— x) d'cosi+(Y—y)d'cosu+(Z— 2)d'cosy— dsdbsint.
J'ai remplacé cos dx + cosudy + cosvdz — 0, dcosidx + deosudy+ deosydz= dsd6sinI.
Les trois équations (x), (5) donneront les coordonnées du point , on aura ensuite
RE —(X — x) (VE PPT ZE EGP,
Je dis maintenant que X—x. Y—y L—3z I = dét. | cosÀ COS ue. cosy | — 0.
d'cosk d'cosu d’cosy
we — SR
En effet, on a, en ayant égard aux notations précédentes,
dcosy deosu COS À — cos AO COSV dcosÀ deosy
PP SAGE GENE Tin
COS Ho — COSY
dceosy dcosà
COSY% — COS À do (Sur)
et en différentiant,
d0 dcosÀ — cosy d'cosy — cosy d’cosu, dôdcosu,— cosy d’cosÀ — cosà d’cosv, d0 dcosy, = cos} d?cosu— cos y d'cosà.
Les seconds membres de ces trois dernières équations sont précisément les coefficients des éléments (X— x), (Y— y), (Z—z), dans le développement du déterminant r; on aura, par conséquent,
M = dede [x — a) M 07 — 7) 0e (7 dE]
et sont les R, ? 4
La quantité qui figure entre les crochets est nulle, car
; dcosÀ Es cosinus des angles que fait #4 avecles axes, et 10 .., sont les quantités
analogues pour la-normale centrale. Donc HE.
Élevons maintenant Le déterminant IT au carré et développons : il vient
Re’ o ds dO sinI I°— dét. | o I — d0?
dsdOsini—d®@ d0+ d0d0?
—R°(d0+ d0? d0)—R°240— de? ds? sin’I — o.
Je me suis servi des équations bien connues
cosÀ d’cosÀ + cosud?cosu + cosyd?cosy = — dE; (dcosA} + (d'cosu) + (d'cosv)} = d0+ d0d0*.
(16) L'équation précédente donne définitivement asr4} R sdb: sin].
C'est, comme on voit, l'équation (17).
Cherchons encore la plus courte distance (e) de deux génératrices VOI— sines de la surface (x) formée par toutes les normales centrales O0’, 0,0... Il suffit pour cela de projeter sur cette distance les deux lignes (fig. 1) rectangulaires OK, O,K, ; nous avons déjà désigné OK par f d6, nous désignerons aussi KO, par &d0,; les deux droites OK, O,K font avec la distance cherchée des angles dont les tangentes sont
do, de, AOC donc MBA = xd0.
(21) ET de + di
pour que « soit nul, il faut que l’on ait
(22) Bd6 — xd6? —0.
C’est la condition nécessaire et suffisante pour que la ligne de striction d'une surface gauche soit une ligne de courbure.
On déduira aussi de la formule précédente le théorème suivant : les rayons de courbure d’une courbe à double courbure ne peuvent jamais se rencontrer. Les inflexions simples sont évidemment exceptées.
La considération de la surface (x) ne me paraît pas sans intérêt, et Je vais donner encore un de ses éléments en fonction de «, fB, d6, d6,,..., (jig.x). La ligne de striction O, O,, O,,..., fait avec la génératrice »2,0, un angle px,
tel que
Bd tangu ==, ia
Il s'ensuit que la plus courte distance 00, entre les normales centrales 00’, 0,0", fait avec la ligne de striction un angle m,, tel que
u, = 180°— arc tang DU arc tang ie : &d6, 46,” d’où
TT er 7 TN
PR A NRC 2"
(47) En désignant maintenant par & la distance du point O au point central O’ de la surface (x), la formule de M. Chasles que nous avons démontrée au commencement, jointe à la formule (23), donnera
«+ B) d0 dO, (24) R — ER ayant A, on déterminera sans difficulté la distance de deux génératrices voisines de la surface réciproque de (x), car cette distance est da, puisque la ligne de striction 00,0... est une trajectoire orthogonale de (7).
La formule (24) fait voir que la ligne de striction de deux surfaces (K) et (T) sera en même temps ligne de striction de la surface (x), si l'on a
(25) æ+fB—o.
On peut rendre explicite la propriété de ces surfaces. En effet, par les génératrices OK, O,K, menons deux plans tangents aux surfaces (K}), (T), et supposons que les deux points de contact soient à égales distances du point central K commun aux deux surfaces : on aura, d’après la formule de M. Chasles,
tangI — T tangl, — = d'où tangl « angl, 6° et ayant égard à la formule (25), I —- I, == O,
ce qui prouve que les deux plans tangents doivent être également inclinés sur le plan tangent au point central. |
D’après la classification des surfaces gauches, donnée par M. Bour, on peut exprimer cette propriété de la surface (K) en disant que la surface (K) et sa réciproque doivent être de la même espèce.
