PRE PA NE EEE

( 24 ) d’où dp r'COSa + s COS B dg scosa+tcosB”

et en différentiant,

DIE Ps (SCOSa + 1COSP} —(scosa + tcos6) d(rcosa + scosB) a

— (rcosa + scosf) d'(scosa + tcosB).

Effectuant les différentiations indiquées, réduisant et ayant égard à l'équation

dqg® = (scosa + tcosB) ds!,

on trouve dg d'p dpd'q d'cosB d COS 2 ;u5p2 | dut de dr = (eo EE — OS SRE) (on) (V) | k dr JS ae , ds dt ? LL 2 + COS? dus an o B Re + COS a cosf a Le

Supposons maintenant que l’axe de z, l’origine etles plans coordonnés (xz), (yz), coïncident successivement avec le point considéré, la normale et les plans de deux sections principales, nous aurons alors

de d=

dr dr R, R,

di FES

UE EE RG :

dus d=

ds ds R R ds = — dy 2"! LE are d Do le dy Lis dx qi

la formule (6) prend d’abord la forme

dqd°p — dpd’q FRET ea Li

(25) et comme on a d0? = dp? + dg, il s'ensuit d6,d0?— dq d°p — dp d?q.

La quantité cosf dcosa — cosadcosi

= 9 Vd cosæ + dcosB? + dcosy

représente, comme on sait, le cosinus de l’angle que fait l'axe de z avec une perpendiculaire à deux tangentes consécutives, c’est-à-dire l'axe du plan osculateur, on aura donc, d’après les suppositions précédentes,

cosf AT COS x does —-" sino — courbure géodésique. ds: ds, P

En remplaçant les valeurs ci-dessus dans la formule (V), on trouve après quelques réductions bien simples

1 d0, /sin?« Le P-/dt +00, RGO RER RE (

Le de (Q){ —cos'æsinæ san | sryene so a R: dx R, dx R; dy R, dy

I I I I d— d— d=— de ee on cos’a | = ou ie = —— — —— — = —— — ——— @& |: Heu \E FR; dx R, dy R, dx ds représente l'arc considéré. Nous avons d’ailleurs remplacé cos B par sin &. La valeur (Q) de d9, est générale, c’est-à-dire elle s’applique à un point quelconque de la surface considérée, et suivant une direction également arbitraire, pour les lignes de courbure on doit faire tour à tour TE 0, C0 0 ire t, H=0, LAS E SINn«=0; on obtient ainsi les deux équations suivantes

bd: “dr R

°R dû, K—x)

dy = dx ( R; 3

c’est-à-dire :

La variation d’une courbure, suivant l’arc normal à son plan, est égale au produit de sa conjuguée en arc par son excès sur sa conjuguée en surface (LAMÉ).

Pour les surfaces développables, la formule (Q) prend une forme bien simple; on a en effet, dans ce cas,

Br 22 donc 1 dû, TUE nee Rd rh

« est l’angle que fait l’élément ds avec la génératrice.

Surfaces orthogonales. — Considérons d’abord deux surfaces (A), (B) se coupant suivant une ligne (e) sous un angle v ; en désignant par (à, 1, v), (4, pu, v,) les cosinus des angles que font avec les axes les normales MN, MN, aux deux surfaces en un point M dela ligne (€), nous aurons

Fig. 5.