SUR
(a) COS À COS À; + COS 14 COS lu + COSY COS, = COS U,
et en différentiant,
dcosÀ dcos To)
Etre dôn (cos dé, + COS pu dé, + COS dé,
. dcosÀ dcosu. dcosi\ + dé (eos TEA + cosu TBE + cos» dés )=—sinvd.
d6,, d9, sont les angles des normales voisines suivant (e). Pour trouver les quantités qui figurent entre parenthèses, je mène par le point M ( Jig. 5)
: (27) deux droites MK, MK, parallèles successivement aux deux normales centrales des surfaces gauches formées par les normales MN,..., MN,,...; les trièdres MNTK,, MN, TK donnent successivement, MT étant la tangente à (e),
dcosÀ dcosu: dcosy k cos NMK, — cosÀ do + cos dû + cosy dé —Cosisinv,
dcosÀ dcos pu MÉCOBT re cos NMK, — cosÀ ie + COS —7 A + COS». » EU cos] sinv;
remplaçant dans l’équation précédente, on trouve
(6) dOcosl + dOncos LL =— dv.
Donc la somme des secondes courbures géodésiques des surfaces (A), (B), le long de leurs intersections communes, est égale à la variation de leur angle pris négativement et divisé par ds. Si l’angle v était constant, on aurait (y) dO,cosI+ d0,cosl = 0;
si de plus on avait cos I = 0,
c’est-à-dire si la courbe (e) était une ligne de courbure sur l’une des deux surfaces, on devrait avoir de plus
cos Eh = 0.
Il s'ensuit que la courbe (e) doit être aussi une ligne de courbure de l’autre surface (*).
La réciproque est vraie ; en effet, les équations
cos —0o, cosi = 0 entrainent la suivante ID —0:
TT
(*) Si les deux surfaces se coupaient orthogonalement, on aurait encore l’équation (y) et rien de plus; c’est-à-dire, si l’on a vu — 90°,
il ne faut pas en conclure que les deux surfaces se coupent suivant une ligne de courbure. Cette observation paraîtra peut-être étrange, mais j’ai rencontré récemment une Note de M. Finck (Journal de M. Liowville, t. IX, 1"° série, p. 400) dans laquelle cette erreur s’est glissée.
(28) Cherchons maintenant le rayon de courbure de (e); en désignant par ABC ‘es angles que fait la tangente MT avec les axes, on aura
Sin y COS À — COS p4 COS y, — COS y COS Lu, Sin v CosB — cos v cos À — cos cos, Sinu COS C — cos À cos — cosy cos À, ;
différentiant, il vient
sin udcos A+-cos A dsinv—(rosudcosr,—cosydcos )— (cosy deosy—cosy, dcosu), sinvdcosB+cosBdsinv—{cosydcosi,—cosÀdcos v,)—(cos v, dcos —cosà, dcos »), sin v dcosC+cosCdsinu—(cosdcos la— cos udcosÀ)}—(cos}, deosu—cosu.dcos)).
Il s’agit maintenant d'élever au carré ces équations, puis de les ajouter ; on à
(cosudcosy; — cosyd cosy) (cos md cosy — cosy, dcosu) + (cos y deos1 — cosAd.cos »,) (cos », d cos À — cos, d cosy) + (cos Adcosu—cosu d cos x) (cos, d'cosu—cosudcos}) — (cos À cos À + cosy COS pu + COS y cosy) X (d cosAd cosk + d'cosu dcosu, + d'cosyd cosy.) = cos'v (d cos\d cos}, + d'cosu dcosy, + dcosy dcosy,):
le trièdre KMK, donne aussi
d'cosà dcosk + d'cosu dcosu:+ d'cosy dcosy, = —d60, d6(sintsintl, + cosI cos, cos uv);
élevant au carré les équations précédentes et ajoutant, on trouve sin’v do? + cos’udu?— d0?(1— cos’I Sin?) + d08 (1— cos’I, sin’) + 240,468 (sin I sin I, + cos cosI, COS u).
On a posé d'cos A+ d cos B:+ dcos C? — de;
éliminant dv entre l'équation précédente et (B), on trouve sans difficulté
sin?v d'p° = d62 sin°1 + d08 Sin? IL, + 2 40, dôpsinlsinI, cos.
PC . 1 Ïï . :
Désignons maintenant par . les courbures de deux sections faites aux (l
deux surfaces (A), (B) par les deux plans tangents aux surfaces (B), (A);
(29 ) la première (5) donnera
dAr…. 1 ns — 7 Sin 1 = = cos p — — sin v,
ds p P
d'Or re RUE nee 008 (0) sin
, 0 Pur L', donc l’équation précédente donnera, - étant le rayon de courbure de (e),
ES © er
I I == —+——2— 0c0sF :
ra
