P° P: PP

F est l’angle des deux plans tangents aux deux surfaces au point M. Ce résultat constitue le théorème de Hachette.

Imaginons maintenant trois familles p, p,, p, des surfaces orthogonales ; désignons par s, s,, s, les courbes intersections de ces surfaces, nous aurons, comme précédemment,

(d0 cos I: + (d0 cos L)* — 0, (48 cosIŸ + (d6 cos} —0, (d6 cosI}"+ (40 cos If = 0; l'indice supérieur indique la surface et l'indice inférieur l'arc. D’après le théorème de M. Bertrand, nous devons avoir aussi (d8 cos1} + (d0 cos 0 (d0 cos I" + (49 cos DS;

(d9 cosI}* + (40 COST} — 0; j'en conclus

(d0 cos1Ÿi=—0, Î

ce qui prouve que chacune des courbes s, s,, s, est ligne de courbure des

surfaces sur lesquelles elle se trouve : c'est le théorème bien connu de M. Ch.

Dupin.

Considérons maintenant l'arc ds, intersection de deux surfaces conju— guées p,, p2, et menons tout le long de cet arc les normales à la surface PE

. . ; | 7 I I on aura ainsi une surface développable ; nous désignerons PAP la pre- 4 !

( 350) mière et la seconde courbure de l’arête de rebroussement de cette développable ; l'accent des lettres p, r correspond à l'arc et l'indice à la surface. Les six courbures principales du système seront désignées par la lettre R affectée aussi d’un accent et d’un indice.

Cela étant posé, on aura

I I I I Rn p : Rr DR’?

Es l 1 1 I (e) A nl A NE em I I L I

RD Nr pK

Il suffit de démontrer une quelconque de ces relations, les autres en sont équivalentes.

Appliquons pour cela la formule (17) à la ligne de courbure s de la surface p,, elle devient I do,

Rire de:

ou bien, en désignant par do l'arc de l'arête de rebroussement qui correspond à la ligne de courbure considérée,

RS do.

R de &°

MAIS On à

donc

On peut énoncer les équations (e) comme il suit : Le rapport d’une cour-

bure à sa conjuguée en are est égal au rapport de la première à la seconde

courbure de l’arête de rebroussement de la surface développable considérée.

On voit que dans les formules (+) il n’entre que le rapport d’une courbure à sa conjuguée en are, et ce rapport entre dans deux formules différentes; on peut donc l'éliminer, on aura ainsi les trois relations sui-

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