RP ON RE RAC

(35) p est le rayon de courbure de l'arc considéré, et R° à la même signification que dans la formule (17). Pour les lignes asymptotiques le terme en sin] doit s’éliminer.

Cherchons maintenant les surfaces qui ont leurs deux courbures égales et de même signe : on doit avoir R:=R;, et la seconde (H) devient cos I “A — 0!

ds \ elle se décompose en deux, DO

cos I — 0, 14 La seconde représente un plan, et la première fait voir que toute ligne tracée sur la surface est une ligne de courbure; la surface est donc une sphère.

Les formules précédentes se prêtent de la manière la plus avantageuse à l'étude de la courbure des lignes sphériques; il faut faire partout

A0, Sin, TCosi 0;

la courbure géodésique prend la forme

RS RE ail sin a et ayant égard à la formule (17), sin 6 - — :

Q p TE CE A R°

Cette formule se traduit par une construction géométrique bien simple :

Par le centre de la sphère abaissons une perpendiculaire au plan osculateur de la courbe sphérique, et soit x Ta trace de cette perpendiculaire sur le plan tangent à la sphère au point #» de la courbe, la distance »#p sera le rayon de courbure géodésique R°. Le point 1 appartient à l’arête de rebroussement de la développable, circonscerite à la sphère suivant la courbe considérée.

Les première et seconde courbures sont données par les formules simples

I I , NE cos o He dé

le rayon de la sphère est supposé égal à l'unité.

(54) On peut éliminer o des équations précédentes; 1l vient

Pere

cette équation est due à M. Serret.

J'indique rapidement les propriétés de la développable circonscrite à une sphère.

L’arête de rebroussement est une ligne géodésique d’un cône (C).

Ce cône est la surface rectifiante de l’arête de rebroussement, c’est le lieu des centres de courbure de la développable circonscrite (*).

Si l’on fait rouler un plan sur le cône (C), et que l’on trace sur le plan une droite (K) à une distance du sommet R égale au rayon de la sphère (2), le lieu des droites (K) sera la développable circonscrite.

Le sommet du cône (C) est au centre de la sphère (2).

Enfin, comme on le sait du reste, les sphères concentriques de (2) coupent la surface développable sous un angle constant; les lignes d’intersection sont par conséquent des lignes de courbure.

Sutface dont un rayon de courbure est constant. — Posons = Const, il vient d— d= AN TU dx dy

La formule (Q) devient

CA sinæ . cos'a + Me : 1 GET ; 1 ET | 4: ue Cha RR bETER = COS‘ Rue dy Pi ,

et, pour les lignes de courbure,

re d6, sc dé, dy ds D Hebdo.

Ce sont les équations de M. Lamé.

(*) On appelle surface rectifiante d’une courbe gauche (A) l'enveloppe des plans menés par les

angeniss normalement à. ses rayons de courbure: il suit de là : 1° Que toute surface développable est rectifiante de ‘toutes ses lignes géodésiques ;

2° Que les centres de courbure d’une surface développable sont situés sur la surface rectifiante de son arête de rebroussement ;

3° Que si l’on fait rouler un plan sur une surface développable (II), les lignes tracées sur le plan engendreront des surfaces développables dont les centres de courbure seront situés sur 1. Toutes ces propriétés sont comprises implicitement dans les ;principes de la (Géométrie de Monge.

La seconde fait voir que la conjuguée en are de la courbure constante est nulle ; il s'ensuit que la développable circonscrite suivant la ligne de courbure correspondante est un cylindre de révolution.

Ces lignes de courbure sont, par conséquent, des cercles de rayon con- Stant. Elles sont aussi des lignes géodésiques (*).

Les surfaces canaux sont, comme l’on sait, l'enveloppe d’une sphère mobile et de rayon Constant; mais elles sont aussi susceptibles d’un autre mode de génération qui fait mieux saisir leur nature, et permet d'étudier plus facilement leurs propriétés. En effet, traçons sur un plan une circonférence, puis faisons rouler ce plan sur une surface développable; il est

évident que la circonférence engendrera une surface canal.

Cela permet de calculer immédiatement son volume, car on sait qu'il doit ere égal au produit de la surface génératrice par le chemin que parcourt son centre de gravité; il en est de même de sa surface. Le second système des lignes de courbure est évidemment composé par les courbes que décrivent, pendant le mouvement, les différents points de la circonférence mobile. On comprend dès lors que si l’on trace sur le plan mobile la transformée de l’arête de rebroussement de la surface développable, les distances d'un point quelconque de la circonférence génératrice aux tangentes de l’arête transformée représenteront les rayons de courbure de la ligne de courbure décrite par ce point pendant le mouvement.

Surface d’égale courbure. — On doit avoir

(*) Une ligne géodésique plane est aussi ligne de courbure, mais une ligne de courbure plane nest point une ligne géodésique, et il faut encore que son plan coupe normalement la surface (Jacogr). .. s

Faisons rouler le plan d’une courbe quelconque (c) sur une surface développable (A) : la courbe (c) engendrera une surface (K) dont les lignes de courbure de l’un des systèmes seront les courbes (c); ces lignes sont aussi géodésiques sur {K). Les lignes décrites dans l’espace pendant le mouvement par les différents points de (c) constituent le second système des lignes de courbure de la surface (K).

Ces surfaces correspondent au cas où l'équation des lignes géodésiques

do + d\ = 9 “té se décompose ainsi 4020, Ml —S:

elles font voir que la développable circonscrite, suivant la ligne géodésique, est un cylindre, et la

courbe de contact une hélice ex général. Comme second exemple on peut considérer les surfaces gauches. Les génératrices rectilignes sont en même temps géodésiques et asymptotiques. -

se (3% ) L’équation (L) donne, par conséquent,

Cette Fe de À . se rapporte à la valeur

tans dame R”

et par conséquent aux lignes asymptotiques, si Les deux courbures prinei— pales de la surface sont de signe contraire.

Prenons maintenant la formule qui donne la évortdé courbure d’une FETE courbe | TO OETR Fr Es = Es TT Een e

ds AS Er £ ; y jp

et comme on a pour les lignes asymptotiques

BOSTE Sy 000) | done Ne TE de ; I rie d0° cel “+ és FT ds RRY | , , à J Cette équation fait voir qu' en 10 tout po x

seconde courbure de la ligne asym) totique 6 à

proportionnelle entre les deux courbures du vid > Pour les surfaces d Coa cc 2 seconde So des Hs as mp=

ses BBD y cart dat: SR De pes PIS UE

; es doi - Atn: L Aa. £ ; Hire ei MAT SE 2 æ

Lie

(37) D cherai les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes et les plans de l’un des systèmes parallèles.

On sait que ces surfaces sont engendrées par une courbe plane, pendant que son plan roule sans glisser sur un cylindre ; il est clair que ce mouvement se réduit au glissement d’un plan (P) sur un plan (Q) fixe.

Les formules de transformation de coordonnées sont dans le cas actuel :

À OR mn É CSG vi Sin, D (à) Y=n+xsSinat+yicos«x, Ée- Z —Z. ; k

RE Le centre instantané sera donné par les équations

2 ‘ : £ pass PAT there ‘de Ce pie Est ; $ te —asine peus 0

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