VX? = CC
Il s’ensuit que si l’on prend, sur les normales menées le long d'une génératrice, les centres de courbure, on formera une courbe dont la projection horizontale sera une hyperbole équilatère dont l'axe sera égal au coefficient de distribution des plans tangents de l’hélicoide.
( 40 ) “à Les formules précédentes serviront aussi à déterminer le rayon de cour- | bure. Voici sa valeur : | =
KR 40 ÆXx0 R est le rayon de courbure et X la tite du point considéré au PRE 4 | central, ete. | cs Lignes asymptotiques. — Elles sont représentées par l'équation 160 ge 402 | de . st (æ) | | à 7 sinl=o; < 4 : l'équation (6) fournira en même enof | leur première courbure | É é S ; a 7 # sr: ee de, cu, £ ta : ; 4 1 né ; vi h (Bd 34554 À ra SRE AAA om RER l À ri 4 CU ÉTTe NT. — Dre
Ta: CPE MAS RE ET œ 278 If 1 ET, ur Le IS ES
(x, ) se décompose comme il suit: | Ge
En) HS D ES 0 0, pet | n4 1e : ;
F c té EE AU 7 Mitch : LE EP
La première est comprise. dans la seconde. En elt, si dans l'équation (r)on
fn 1BÈES es
ss ES Ni 4 di PES ti SE RE
(4x) Si dans les équations (1) on suppose sin] — 0,
on déduit R—o.
Donc : les lignes asymptotiques d’une surface (2) sont les lignes de striction des surfaces gauches (K) formées par les normales à la surface (2), suivant ses asymptotiques.
Une asymptotique de la surface (2) est une ligne géodésique de la surface (K).
Si l’on prend un point » sur une asymptotique et qu'on mène un plan (P) normal à la surface, et contenant la tangente à l’asymptotique en ce point, la projection de cette ligne sur le plan (P) présentera au point » une inflexion.
La surface réciproque de (K) est développable, elle touche la surface (2), et la courbe de contact est son arête de rebroussement.
Chacune des propriétés précédentes est caractéristique.
Les équations (,), en passant aux coordonnées ordinaires, deviennent (F)
dp°+ dg+(pdg — qdp)= 0, [pgdg —{1 + g°) dp] dx +{[pqdp — (1 + p°)dq]dy —\(pdp + qdq)dz.
La première représente, comme on sait, une surface développable. La seconde, en y remplaçant dz, dp, dq par leurs valeurs et réduisant,
devient dy: SANTE ee DR EE — = 0.
dE RES T C’est sous cette forme que M. Dupin l’a donnée pour la première fois. La réalité de ses racinés exige que l’on ait
c’est-à-dire il faut que l’indicatrice soit hyperbolique, et alors les deux lignes asymptotiques seront dirigées suivant les asymptotes.
Comme application, je chercherai les surfaces de révolution dont les Man asymptotiques sont des loxodromies. Les méridiennes de ces surfaces ont une remarquable propriété.
On doit avoir d’après la formule (2)
LE const nee
(42) R;, R, étant les deux rayons de courbure; c'est-à-dire le rayon de courbure et la normale, relativement à l’axe de révolution, de la méridienne. On sait qu'il est possible d'obtenir les équations de ces courbes en termes finis toutes les fois que la constante est un nombre entier; mais je prends la for- | mule bien connue de Savary, relative aux RARE des courbes planes,
sé,
Cr |
Re — an = cos (+ +N FR=N rv)
Je di à 5 que dans cette formule R,, R sont les rayons de courbure des
Es PERRET és ES
, MB, et comme nous + supposerons dE hgne
vue
courbes DES ee aie 6) MS
Re: Hasbivi nbdos in. AAA asie RER | env ra Bi RTE À gi L38 respire D DAT AEE LENS SR
ET | | R',, R’ sont les rayons de courbure de l'enveloppe PS et de l'enveloppée LR | PA; PE étant une ligne droite aussi, on aura À
sol RE an cp e œyrril 4 ࣠sys pure INT ap Ai, PES LS 232
M, à de cuis D te Qétr
