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La première de ces formules représente la courbure de la section normale qui contient l'arc ds, la seconde donne la valeur de la courbure géodésique,
On a aussi
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em ea) d0, + di
(6) | tango = TT À
Seconde courbure géodésique. — Par le point O je fais passer un plan perpendiculaire à Om; il coupera le plan m,mA suivant une droite PO, telle que
Ti KOP = 1.
Par le point K, j'abaisse sur le plan Omm, une perpendiculaire KP; pes 12.9 n 11? . , l'angle Pr,K = df, divisé par l'élément ds, constitue ce que M. Ossian Bonnet à nommé la seconde courbure géodésique. Les triangles KOP, KP», donnent KP = OKsinl = K m,df.
Or Km, est égal à R, car on a, dans le triangle KBm,, HA, —= — D;
donc, en remplaçant, dans la formule qui précède, OK par sa valeur £d0, on aura Rdf= Gsin1d0,
et ayant égard aux formules (1),
RO TT PRES Haba (7) ds =snls = cos] = ES
Nous mettrons plus tard la valeur de la seconde courbure géodésique sous la forme donnée pour la première fois par M. Bertrand.
Torsion géodésique. — Nous appellerons ainsi l'angle de deux plans normaux à la surface (Z), contenant les éléments consécutifs mm, , mm, , divisé par l'arc ds, Pour déterminer cette torsion, j'observe que l’angle de torsion
(8) géodésique Tds est égal à celui de deux droites PK et [lz,, cette dernière Me = menée perpendiculairement au plan Kzm,; or nous connaissons
déjà Km, car c'est le complément de se df que nous venons de déterminer;: et l'on a
cos (PK) —cosIid6.
ER ses Il suffit donc de connaître l'angle (PK, Er à puisque les trois droites I172,,
m,m;, m,K sont rectangulaires, et la somme des carrés des trois cosinus que PK fait avec ces trois droites est égale à l’unité. Menons donc par un point de l’espace trois droites m,U, m,m,, m,K parallèles successivement à mm, , m,m;, PK, et formons ensuite le triangle sphérique KU/, (fig. 2).
Fig. 2.
dans lequel on a, en nu par d= l'angle de contingence absolu de la courbe Les: ée,
ER 262 pairs 4 SF :
il s'ensuit se dede atdenerére caël Le ae. RTE Le
